 | y=cosx,y=tan(x/2)のグラフと
y=cosxに(π/3,cos(π/3))で接する接線、
y=tan(x/2)に(π/3,tan(π/6))で接する接線を考えると
2接線は(√3)(x-π/3)+2y=1と2(x-π/3)-3y+√3=0で
その交点のx座標はx=π/3-(30-17√3)/11
π/3-(30-17√3)/11＜(1/3)(22/7)-(30-17√3)/11
=(357√3-388)/231
(357√3)^2=382347＜383161=619^2から
357√3＜619
357√3-388＜231
(357√3-388)/231＜1
よって2接線の交点のx座標は1より小さい。
y=cosxは0＜x＜π/2で単調減少かつ上に凸なので
(π/3,cos(π/3))で接する接線はy=cosxより右にある。
y=tan(x/2)は0＜x＜π/2で単調増加かつ下に凸なので
(π/3,tan(π/6))で接する接線はy=tan(x/2)より右にある。
従って2接線の交点はy=cosxとy=tan(x/2)の交点より右にあるので、
y=cosxとy=tan(x/2)の交点のx座標は2接線の交点のx座標より小さく、
すなわち1より小さい。
ゆえにy=cosxとy=tan(x/2)は0＜x＜1の範囲内で交わり、
0＜x＜π/2でy=cosxは単調減少、y=tan(x/2)は単調増加なので
x=1においてはtan(x/2)＞cosx。
よってtan(1/2)＞cos(1)。
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