 | 2021/03/10(Wed) 21:28:03 編集(投稿者)
はい、示せます。
f(x)=log(1+x), g(x)=k√x として
y=f(x)とy=g(x)がx=t（t＞0）で接するとすると
f(t)=g(t)からlog(1+t)=k√t
f'(t)=g'(t)から1/(1+t)=k/(2√t)すなわち(1+t)k=2√t
2式からkを消去して整理すると
log(1+t)=2t/(1+t)
h(x)=2x/(1+x)とおくとh'(x)=2/(1+x)^2
x＜1のときh'(x)＞f'(x)
x=1のときh'(x)=f'(x)
x＞1のときh'(x)＜f'(x)
f(0)=h(0)=0, f(1)=log2＜1=h(1), f(7)=log8＞2＞h(7)だから
y=f(x)とy=h(x)は1＜x＜7の範囲に交点(t,log(1+t))がただ1つ存在し、
0＜x＜tでf(x)＜h(x)、t＜xでf(x)＞h(x)となる。
34/7=1700/350＜1701/350=243/50=4.86
(34/7)^4＜4.86^4=557.88550416＜558
(34/7)^17＜558^4×4.86=471165046810.56
e＞2.718
e^3＞2.718^3=20.079290232＞20
e^27＞20^9=512000000000
∴(34/7)^17＜e^27
34/7＜e^(27/17)
1+27/7＜e^{2(27/7)/(1+27/7)}
よってx=27/7のとき1+x＜e^(2x/(1+x))なので
log(1+x)＜2x/(1+x)すなわちf(x)＜h(x)
f(x)＜h(x)⇔0＜x＜tだったからt＞27/7
t＞27/7から
6561t＞177147/7＞25306
6561t-13439＞11867
(6561t-13439)^2＞11867^2=140825689＞137560000
(6561t-13439)^2-137560000＞0
43046721t^2-176346558t+43046721＞0
6561t^2-26878t+6561＞0
6561t^2+13122t+6561＞40000t
6561(1+t)^2＞40000t
4t/(1+t)^2＜6561/10000
2√t/(1+t)＜81/100
k=2√t/(1+t)だったから
k＜81/100=(9/10)^2
(追記)
ちなみにkはランベルトのW関数を使うと
k=√{1-{W(-2/e^2)+1}^2}
のように具体的な形で書き表すことができます。
W(-2/e^2)=-0.40637573995995990767…なので
k=0.80474234254941181120…となり、確かに
k＜81/100=(9/10)^2となっています。
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