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■50693 / inTopicNo.1) 　α^52
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□投稿者/ 黒板アート 一般人(1回)-(2021/04/03(Sat) 13:50:51)
    α^3-2α^2+4α-4=0
    のとき
    α^52=p+qα
    をみたす整数p,qが存在することを示せ。(和訳)

    整数論の本を読んでいたら上記演習問題があったのですが、これは手計算で示せるものなのでしょうか？
    単に存在することを示すだけなので、次数を下げていく以外の方法があるのか！？などと思ってみたり…
    どうなんでしょう？教えていただけると幸いです。

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■50694 / inTopicNo.2) 　Re[1]: α^52
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2021/04/03(Sat) 17:29:37)
    次数下げとあまり変わりませんが、工夫すると
    (α^3-2α^2+4α-4)(α+2)=α^4+4α-8=0 から α^4=-4α+8
    (α^4+4α-8)α^2-4(α^3-2α^2+4α-4)=α^6-16α+16=0 から α^6=16α-16=16(α-1)
    α^13=α(α^6)^2=256α(α-1)^2=256{(α^3-2α^2+4α-4)-(3α-4)}=256(-3α+4)
    (-3α+4)^4=81α^4-432α^3+864α^2-768α+256
    =81(-4α+8)-432(α^3-2α^2+4α-4)+960α-1472
    =636α-824
    なので
    α^52=(α^13)^4=256^4・(-3α+4)^4=2^32・(636α-824)=2^34・(159α-206)
    となりp=-103・2^35、q=159・2^34でα^52=p+qαが成り立つ。

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■50703 / inTopicNo.3) 　Re[2]: α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(2回)-(2021/04/08(Thu) 17:48:13)
    有難うございます。
    私にも・・・辛うじて計算できる方法です。
    α^4を見つけるのが肝要ですね。
    工夫の偉大さを感じました。
解決済み!
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