 | tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=(1/m+1/n)/{1-(1/m)(1/n)}
=(m+n)/(mn-1)
少なくとも(分母)≦(分子)でなければならないので
mn-1≦m+n
mn-m-n-1≦0
mn-m-n+1≦2
(m-1)(n-1)≦2
m=1のときtan(α+β)=(n+1)/(n-1)=1+2/(n-1)となるのでn=2,3
n=1のときも同様にm=2,3
m＞1かつn＞1のとき、(m-1)(n-1)≦2を満たす自然数(m,n)の組は
(2,2),(2,3),(3,2)だが、このうち(2,2)は(m+n)/(mn-1)が整数とならず不適。
他はすべて条件を満たすので、求める答えは
(m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)
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