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ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0
「20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。」
とのことですから、nの最大値は20161ですね。
この証明を書くには
「20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。」
と
「20161を2数の和で表したとき、2数のうち少なくとも一つは過剰数でない」
を証明しなければなりませんね。
前者は例えば
n=6k のとき n=12+(6k-12) （※12以上の6の倍数は過剰数）
n=6k+2 のとき n=20+(6k-18) （※20は過剰数）
n=6k+3 のとき n=945+(6k-942) （※945は過剰数）
n=6k+4 のとき n=40+(6k-36) （※40は過剰数）
n=6k+1のうち
n=60k+25 のとき n=945+(60k-920) （※20の倍数は過剰数）
n=60k+55 のとき n=1575+(60k-1520) （※1575は過剰数）
・・・
のように絞っていけば、おそらく証明できると思います。
後者は20161未満のすべての過剰数を考えて
20161を2数の和で表すと片方が奇数で片方が偶数
20161未満の奇数の過剰数はすべて15の倍数で
20161≡1(mod15)だから、偶数の方はm≡16(mod30)
よって
20161未満の奇数の過剰数
945,1575,2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615,6825,
7245,7425,7875,8085,8415,8505,8925,9135,9555,9765,10395,11025,
11655,12285,12705,12915,13545,14175,14805,15015,15435,16065,16695,
17325,17955,18585,19215,19305,19635,19845
と
20161未満で30で割って16余る過剰数
196,636,1036,1236,1696,1896,2176,2316,3016,3156,3496,3576,4216,
4416,4816,5076,5656,5796,6016,6096,6256,6516,6976,7236,7696,
7776,8056,8196,8536,8616,9196,9276,9856,10296,10696,10836,11176,
11556,11956,12396,12796,13176,13456,13656,13816,13956,14416,14496,
15136,15336,15496,15636,16156,16476,16996,17076,17416,17556,17836,
18276,18616,18696,19456,19536
のどれを足しても20161にならないことを示せば証明できますが、
そもそも上記の過剰数を列挙するだけでも大変ですね。
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