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■50801 / inTopicNo.1) 　漸化式
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□投稿者/ 子 一般人(1回)-(2021/05/22(Sat) 19:45:28)
    a[1]=0, a[2]=1
    a[n]=(n-1)(a[n-1]+a[n-2]) (n≧3)
    で定まる自然数の数列の素数p番目の項
    a[p]をpで割った時の余りは何ですか？
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■50804 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2021/05/27(Thu) 23:29:06)
    2021/05/27(Thu) 23:39:38 編集(投稿者)

    a[n] = (n-1)(a[n-1]+a[n-2])
    ⇒ a[n]-n*a[n-1] = (n-1)a[n-2]-a[n-1]

    よって、n ≧ 3 のとき、b[n] = a[n]-n*a[n-1] おけば
    b[n] = -b[n-1]
    となる。

    a[3] = (3-1)(a[2]+a[1]) = 2(1+0) = 2
    b[3] = a[3]-3*a[2] = 2-3*1 = -1
    なので、
    b[n] = a[n]-n*a[n-1] = (-1)^n

    尚、
    a[2]-2*a[1] = 1-2*0 = 1 = (-1)^2
    なので、
    a[n]-n*a[n-1] = (-1)^n
    は n = 2 でも成立する。

    a[n] = (n-1)(a[n-1]+a[n-2])
    ⇒ a[n]+a[n-1]+a[n-2] ≡ 0 (mod n)
    ⇒ a[n]+(a[n-1]-(n-1)a[n-2])+n*a[n-2] ≡ 0 (mod n)
    ⇒ a[n]+(-1)^(n-1) ≡ 0 (mod n)
    ⇒ a[n] ≡ -(-1)^(n-1) ≡ (-1)^n (mod n)

    よって、n ≧ 2 において、n が素数であるかないかに関わらず、
    n が偶数なら、a[n] を n で割った余りは 1
    n が奇数なら、a[n] を n で割った余りは n-1
    となります。
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