 | 第3式から (a-1)c=a^2-a+b
第2式から c=b^2-ab-a+b … (1)
なので (a-1)c=(a-1)(b^2-ab-a+b)
よって a^2-a+b=(a-1)(b^2-ab-a+b)
整理して (b+2)a^2-(b^2+2b+2)a+b(b+2)=0 … (2)
第1式に(1)を代入して a^2+b^2=(b^2-ab-a+b)^2
整理して b{(b+2)a^2-2(b^2+2b+1)a+b^2(b+2)}=0 … (3)
b=0のとき(3)は成り立ち、(2)からa(a-1)=0
a=0のとき(1)からc=0
(a,b,c)=(0,0,0)は全式を満たすので解
a=1のとき(1)からc=-1
(a,b,c)=(1,0,-1)も全式を満たすので解
b≠0のとき(3)から (b+2)a^2-2(b^2+2b+1)a+b^2(b+2)=0 … (4)
(2)から(b+2)a^2=(b^2+2b+2)a-b(b+2)
(4)から(b+2)a^2=2(b^2+2b+1)a-b^2(b+2)
2式から (b^2+2b+2)a-b(b+2)=2(b^2+2b+1)a-b^2(b+2)
整理して (b+2)(a-b+1)=0 … (5)
b=-2のとき(5)は成り立ち、(2)からa=0、(1)からc=2
(a,b,c)=(0,-2,2)も全式を満たすので解
b≠-2のとき(5)から a-b+1=0 すなわち a=b-1
(2)に代入して
(b+2)(b-1)^2-(b^2+2b+2)(b-1)+b(b+2)=0
これより b=4 なので a=b-1=3、(1)からc=5
(a,b,c)=(3,4,5)も全式を満たすので解
従って解は
(a,b,c)=(0,0,0),(1,0,-1),(0,-2,2),(3,4,5)
の4組。
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