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■50878 / inTopicNo.1)

　cosθ

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□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤一般人(1回)-(2021/07/01(Thu) 21:04:48)

cosθ, cos2θ, cos3θ, cos4θ, ....... , coskθ, .......
という数列のどこか連続する4項が有理数ならば、
この数列は全ての項が有理数だと言えますか？

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■50879 / inTopicNo.2)

　Re[1]: cosθ

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□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2021/07/02(Fri) 21:45:06)

# θとタイプするのが面倒なので、t とタイプさせて頂きます。

cos(t) が有理数であることが示せれば十分です。
何故なら、任意の自然数 k に対して、cos(kt) は cos(t) の整数係数の整式になるからです。

k を自然数、p, q, r, s を有理数として、
p = cos(kt) ・・・・・(1)
q = cos((k+1)t) ・・・・・(2)
r = cos((k+2)t) ・・・・・(3)
s = cos((k+3)t) ・・・・・(4)
とします。

(1)(2)より、
q = cos(kt)cos(t)-sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-sin(kt)sin(t)
⇒ sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-q ・・・・・(5)

(1)(3)(5)より、
r = cos(kt)cos(2t)-sin(kt)sin(2t)
= p(2cos(t)^2-1)-2sin(kt)sin(t)cos(t)
= p(2cos(t)^2-1)-2(p*cos(t)-q)cos(t)
= 2q*cos(t)-p ・・・・・(6)

q ≠ 0 ならば、(6)より
cos(t) = (p+r)/(2q) ・・・・・(7)

q = 0 ならば、(6)より
r = -p ・・・・・(8)

(2)より、
q = cos((k+1)t) = 0
⇒ sin((k+1)t) = ±1 ・・・・・(9)

(3)(8)(9)より、
r = cos((k+1)t)cos(t)-sin((k+1)t)sin(t) = -sin((k+1)t)sin(t)
⇒ (-p)^2 = (-sin((k+1)t)sin(t))^2 = sin(t)^2
⇒ p^2 = 1-cos(t)^2
⇒ cos(t)^2 = 1-p^2 ・・・・・(10)

(4)(5)より、
s = cos(kt)cos(3t)-sin(kt)sin(3t)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)(3sin(t)-4sin(t)^3)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)sin(t)(3-4sin(t)^2)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-p*cos(t)(4cos(t)^2-1)
= -2p*cos(t) ・・・・・(11)

p ≠ 0 ならば、(11)より
cos(t) = -s/(2p) ・・・・・(12)

p = 0 ならば、(10)より
cos(t) = ±1 ・・・・・(13)

以上から、
q ≠ 0 なら cos(t) = (p+r)/(2q)
q = 0 かつ p ≠ 0 なら cos(t) = -s/(2p)
q = 0 かつ p = 0 なら cos(t) = ±1
・・・と、いずれも cos(t) は有理数になります。
よって、連続4項が有理数なら全項が有理数と言えます。

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■50882 / inTopicNo.3)

　Re[2]: cosθ

▲▼■

□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤一般人(2回)-(2021/07/04(Sun) 14:58:13)

大変美しい解答を有難うございました。

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