 | 2021/07/08(Thu) 15:19:21 編集(投稿者)
xy座標でべクトルを原点 (0, 0) を始点とた終点の座標 (x, y) で表すことにすると、
|(x, y)| = √(x^2+y^2) です。
p, q, r, s を実数として、a = (p, q), b = (r, s) とします。
|a+2b| = |(p, q)+2(r, s)| = |(p+2r, q+2s)| = 1
⇒ (p+2r)^2+(q+2s)^2 = 1^2 ・・・・・(0)
上記より、ある実数 u が存在して
p+2r = cos(u) ・・・・・(1)
q+2s = sin(u) ・・・・・(2)
とおけます。
|2a-b| = |2(p, q)-(r, s)| = |(2p-r, 2q-s)| = 1
⇒ (2p-r)^2+(2q-s)^2 = 1^2
上記より、ある実数 v が存在して
2p-r = cos(v) ・・・・・(3)
2q-s = sin(v) ・・・・・(4)
とおけます。
(1)(3)より
(p+2r)+2(2p-r) = cos(u)+2cos(v)
⇒ p = (cos(u)+2cos(v))/5 ・・・・・(5)
⇒ r = 2(cos(u)+2cos(v))/5-cos(v) = (2cos(u)-cos(v))/5 ・・・・・(6)
(2)(4)より
(q+2s)+2(2q-s) = sin(u)+2sin(v)
⇒ q = (sin(u)+2sin(v))/5 ・・・・・(7)
⇒ s = 2(sin(u)+2sin(v))/5-sin(v) = (2sin(u)-sin(v))/5 ・・・・・(8)
|a-2b| = |(p, q)-2(r, s)| = |(p-2r, q-2s)|
⇒ |a-2b|^2 = (p-2r)^2+(q-2s)^2 = (p+2r)^2+(q+2s)^2-8pr-8qs
(0)(5)(6)(7)(8)より、
⇒ |a-2b|^2 = 1-8((cos(u)+2cos(v))/5)((2cos(u)-cos(v))/5)-8((sin(u)+2sin(v))/5)((2sin(u)-sin(v))/5)
= 1-(8/25)((cos(u)+2cos(v))(2cos(u)-cos(v))+(sin(u)+2sin(v))(2sin(u)-sin(v)))
= 1-(8/25)(2cos(u)^2+3cos(u)cos(v)-2cos(v)^2+2sin(u)^2+3sin(u)sin(v)-2sin(v)^2)
= 1-(8/25)(2(cos(u)^2+sin(u)^2)+3(cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v))-2(cos(v)^2+sin(v)^2))
= 1-(8/25)(2+3cos(u-v)-2)
= 1-(24/25)cos(u-v)
-1 ≦ cos(u-v) ≦ 1 ですから
1-(24/25)(1) ≦ |a-2b|^2 ≦ 1-(24/25)(-1)
⇒ 1/25 ≦ |a-2b|^2 ≦ 49/25
|a-2b| ≧ 0 だから、1/5 ≦ |a-2b| ≦ 7/5 となります。
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