 | 問題1 φ(x) は Rn 上で定義されたコンパクトな台を持つ C∞ 級関数で のとする。f (x) は Rn 上の連続関数とする。ε > 0 に対し、
1∫
fε(x) = n φ(y/ε)f(x − y)dy
とする。
1. fε(x) は C∞ 級関数であることを示せ。
2. ε → 0 + 0でfε はf にRn 上広義一様収束することを示せ。
問題2f(x)とg(x)はRn 上のC∞ 級関数とする。f(0) = 0かつgrad f (0) ̸= 0とし S = {x ∈ Rn; f(x) = 0}
とおく。原点の近傍で g(x) = 0 (x ∈ S) が成り立つならば、原点の近傍で定義された C∞ 級関数 h(x) が存在して、そこで g(x) = h(x)f (x) となることを示せ。
問題3 k は整数とする。D := Rn \ {0} で定義された関数 φ(x) が k 次斉次であるとは φ が φ(λx) = λkφ(x) (∀λ ∈ R>0, ∀x ∈ D)
を満たすときを言う (但し、R>0 は正の実数の集合を表す)。D 上の C 1 級関数に対して次の 1. と 2. は同値であることを示せ。
1. f(x)はk次斉次。
2. fはD上次の式を満たす。
問題4
(∂∂∂) x1∂x +x2∂x +xn∂x
12n
f =kf.
ε Rn
1. n≥2、DをRnの開集合としf(x)をDの任意のコンパクトな可測集合上で有界かつ可積分と なる関数とする。 f が D 上広義可積分であることの定義を述べよ。
2. D = {(x,y) ∈ R2; 0 < x < 1, 0 < y < 1}とする。次の関数がD上広義可積分か判定せよ。 (a)f(x,y)= 1 , (b)f(x,y)= 1, (c)f(x,y)=log(x+y).
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