数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■51817 / inTopicNo.1) 　y=e^xの法線
  ▼■
□投稿者/ 指数関数 一般人(1回)-(2022/03/06(Sun) 01:31:38)
    xy平面の曲線y=e^x上の相異なる2点それぞれにおける法線の交点が
    y>e^xで表される領域に含まれるか計算で確認しようとしています。

    2本の法線の交点のx座標をeの肩に乗せたあたりから
    非常に雲行きが怪しくなってくるのですが、
    どのように考えるとその後上手くいくか教えて下さい。

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■51818 / inTopicNo.2) 　Re[1]: y=e^xの法線
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2022/03/06(Sun) 02:06:56)
    グラフの形とか考えずに、交点の座標をy＞e^xに代入すると
    成り立つということを示したいということでしょうか。
    それでしたら、
    2点を(p,e^p),(q,e^q)（p＜q）とすると
    それぞれの法線は
    y=-(x-p)/e^p+e^p と y=-(x-q)/e^q+e^q
    yを消去して整理すると
    x=p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q)
    これをy=-(x-p)/e^p+e^pに代入してy座標を求めると
    y=(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q
    つまり交点の座標(x,y)は
    (x,y)=(p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q),(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q)
    (q-p)e^p/(e^q-e^p)＞0, e^(p+q)＞0なので
    x=p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q)＜p
    よってe^x＜e^p … (1)
    また(q-p)/(e^q-e^p)＞0, e^q＞0なので
    y=(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q＞e^p … (2)
    (1)(2)からy＞e^p＞e^xなので、交点はy＞e^xの範囲にある。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■51819 / inTopicNo.3) 　Re[2]: y=e^xの法線
□投稿者/ 指数関数 一般人(2回)-(2022/03/06(Sun) 08:58:21)
    なるほど！！
    ありがとうございます！
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ
Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター