 | k^2を3で割った余りは、kが3で割り切れるとき0、割り切れないとき1
aもbも3で割り切れるとき、左辺が3の倍数となり不適
aとbのうちどちらか一つのみ3で割り切れるとき、左辺を3で割った余りが2となり不適
従ってaとbは両方とも3で割り切れない … (1)
cが偶数だと左辺が偶数になって成り立たないのでcは奇数
このとき3c^2≡3(mod4)なので20a^2+2b^2≡0(mod4)
よってbは偶数
b=2m, c=2n-1を代入して整理すると
5a^2+2m^2+3n(n-1)=505 … (2)
n(n-1)は偶数なのでaは奇数 … (3)
a≧11だと(左辺)＞605となって不適なのでa＜11
(1)(3)からaは3で割り切れない奇数なので、a=1,5,7
a=1のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=250
a=5のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=190
a=7のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=130
いずれも(右辺)≡2(mod4)
m^2≡0,1(mod4)なので3n(n-1)/2≡1,2(mod4)
k≡0,1,2,3(mod4)に対して順に3k≡0,3,2,1なので
n(n-1)/2≡2,3(mod4)
n(n-1)/2はn=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13に対して
0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78
(n≧14のとき3n(n-1)/2≧273＞250なので不適)
このうちmod4で2,3となるものは
n=3,4,5,6,11,12,13に対する
3,6,10,15,55,66,78
よってn=3,4,5,6,11,12,13に対して3n(n-1)/2は
9,18,30,45,165,198,234
250,190,130から引くと順に
250-3n(n-1)/2=241,232,220,205,85,52,16
190-3n(n-1)/2=181,172,160,145,25 (以降負)
130-3n(n-1)/2=121,112,100,85 (以降負)
このうち平方数になるのは16,25,121,100であり
(a,m,n)=(1,4,13),(5,5,11),(7,11,3),(7,10,5)
b=2m,c=2n-1により
(a,b,c)=(1,8,25),(5,10,21),(7,22,5),(7,20,9)
の4つが条件を満たす解。
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