 | 2022/04/17(Sun) 12:50:31 編集(投稿者)
y=e^xの(t,e^t)における法線は
ye^t-e^(2t)=t-x
この法線が(p,q)を通るとき
qe^t-e^(2t)=t-p
f(t)=qe^t-e^(2t), g(t)=t-p とおくとf'(t)=qe^t-2e^(2t)
「y=f(x)とy=g(x)の交点が2個以上」⇔「f'(t)＞1となるようなtが存在する」
qe^t-2e^(2t)＞1が異なる2実数解を持つ条件はq＞2√2であり
解はlog{{q-√(q^2-8)}/4}＜t＜log{{q+√(q^2-8)}/4}
y=g(x)が点(log{{q-√(q^2-8)}/4},f(log{{q-√(q^2-8)}/4}))を通るとき
p=log{{q-√(q^2-8)}/4}-f(log{{q-√(q^2-8)}/4})
=log{{q-√(q^2-8)}/4}-{q^2+4-q√(q^2-8)}/8
y=g(x)が点(log{{q+√(q^2-8)}/4},f(log{{q+√(q^2-8)}/4}))を通るとき
p=log{{q+√(q^2-8)}/4}-f(log{{q+√(q^2-8)}/4})
=log{{q+√(q^2-8)}/4}-{q^2+4+q√(q^2-8)}/8
なので、求める領域は
y＞2√2 かつ
log{{y+√(y^2-8)}/4}-{y^2+4+y√(y^2-8)}/8≦x≦log{{y-√(y^2-8)}/4}-{y^2+4-y√(y^2-8)}/8
整理して
y＞2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦12log2-8log{y+√(y^2-8)}+y√(y^2-8)
さらに整理すれば
y＞2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦y√(y^2-8)-8arccosh(y/(2√2))
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