 | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
((1-p)^n)p/{1-(1-p)^(2n+1)} < 1/(2n+1)の証明と解釈して回答します。
q = 1-pとおくと、0 < q < 1です。
((1-p)^n)p/{1-(1-p)^(2n+1)}
= (q^n)(1-q)/{1-q^(2n+1)}
= (q^n)/{Σ[k=0,2n]{q^k}}
= 1/{Σ[k=-n,n]{q^k}}
= 1/{q^0+Σ[k=1,n]{q^(-k)+q^k}}
0 < q^(-k)かつ、0 < q^kなので、相加平均と相乗平均の大小関係より、
q^(-k)+q^k ≧ 2√{(q^(-k))(q^k)} = 2
但し、0 < q < 1とkは自然数より、q^(-k) ≠ q^kなので上記不等式の等号は成立しません。
よって、q^(-k)+q^k > 2です。
以上から、
q^0+Σ[k=1,n]{q^(-k)+q^k} > 1+Σ[k=1,n]{2} = 2n+1
となり、題意は成立すると言えます。
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