数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / 無理関数の積分(大学) / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■52056 / inTopicNo.1)

　無理関数の積分(大学)

▼■

□投稿者/ 数学太郎一般人(1回)-(2022/12/21(Wed) 16:52:26)

どなたかこちらの解き方を教えていただきたいです。

[-1,0]∫x^2/√(x^2+x+4) dx

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■52438 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 無理関数の積分(大学)

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(18回)-(2024/01/06(Sat) 22:50:34)

2024/01/07(Sun) 12:02:47 編集(投稿者)

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
不定積分を計算してから、定積分の値を求めます。

F(x) = ∫{(x^2)/√(x^2+x+4)}dxとおきます。

t-x = √(x^2+x+4)とおくと、
⇒ t^2-2tx+x^2 = x^2+x+4
⇒ t^2-4 = (2t+1)x・・・(1)

2t+1 = 0、つまりt = -1/2と仮定すると、
t^2-2tx+x^2 = 1/4+x+x^2 = x^2+x+4
⇒ 1/4 = 4
と不条理なのでt ≠ -1/2です。

よって、(1)より、
x = (t^2-4)/(2t+1)・・・(2)

(2)より、
√(x^2+x+4) = t-x = t-(t^2-4)/(2t+1) = (t^2+t+4)/(2t+1)・・・(3)

(2)(3)より、
(x^2)/√(x^2+x+4) = (((t^2-4)/(2t+1))^2)/((t^2+t+4)/(2t+1))
= {(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}・・・(4)

(2)より、
dx/dt = {(2t)(2t+1)-(t^2-4)(2)}/{(2t+1)^2} = (2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}・・・(5)

(4)(5)より、
F(x) = ∫{{(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}}{(2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}}dt
= ∫{2{(t^2-4)^2}/{(2t+1)^3}}dt・・・(6)

u = t+1/2、つまりt = u-1/2とおくと、du = dtで、(6)は、
F(x) = ∫{2{((u-1/2)^2-4)^2}/{(2u)^3}}du
= (1/4)∫{{((u^2-u+1/4)-4)^2}/{u^3}}du
= (1/4)∫{{(u^2-u-15/4)^2}/{u^3}}du
= (1/4)∫{{u^4-2u^3-(13/2)u^2+(15/2)u+225/16}/{u^3}}du
= (1/64)∫{16u-32-104/u+120/u^2+225/u^3}du
= (1/64){8u^2-32u-104log(|u|)-120/u-(225/2)/u^2}
= (1/128){16u^2-64u-208log(|u|)-240/u-225/u^2}・・・(7)

計算過程で良く出てくる式を、u = t+1/2 = 1/2+x+√(x^2+x+4) = g(x)とおきます。

-1 ≦ x ≦ 0なので、x+√((x+1/2)^2+15/4) ≧ -1+(√15)/2 > 0より、
log(|u|) = log(1/2+x+√(x^2+x+4)) = log(g(x))・・・(9)

(7)(8)(9)より、
F(x) = (1/128){16g(x)^2-64g(x)-208log(g(x))-240/g(x)-225/g(x)^2}

g(0) = 1/2+0+√4 = 5/2
⇒ F(0) = (1/128){16(5/2)^2-64(5/2)-208log(5/2)-240/(5/2)-225/(5/2)^2}
= (1/128){100-160-208log(5/2)-96-36}
= -(13/8)log(5/2)-3/2

g(-1) = 1/2-1+√((-1)^2+(-1)+4) = 3/2
⇒ F(-1) = (1/128){16(3/2)^2-64(3/2)-208log(3/2)-240/(3/2)-225/(3/2)^2}
= (1/128){36-96-208log(3/2)-160-100}
= -(13/8)log(3/2)-5/2

よって、
F(0)-F(-1) = {-(13/8)log(5/2)-3/2}-{-(13/8)log(3/2)-5/2}
= (13/8)log(3/5)+1

以上から、∫[-1, 0]{(x^2)/√(x^2+x+4)}dx = (13/8)log(3/5)+1となります。
# 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■52439 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 無理関数の積分(大学)

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(7回)-(2024/01/07(Sun) 10:24:06)

横から失礼します。

別解)
x^2+x+4=(x+1/2)^2+15/4
ここで
(2/√15)(x+1/2)=sinht
と置くと
(与式)=∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)][{{(1/2)(√15)sinht-1/2}^2}/cosht]coshtdt
=(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)](sinht-1/√15)^2dt
=(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2-(2/√15)sinht+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-1/2+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-13/30}dt
=(15/2){(1/4)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/30)arcsinh(1/√15)}
=(15/8)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/4)arcsinh(1/√15)
ここで
sinh{2arcsinh(1/√15)}=2sinhucoshu (u=arcsinh(1/√15)と置いた)
=2(1/√15)√{(1/√15)^2+1}
=8/15
∴(与式)=1-(13/4)arcsinh(1/√15)
(見かけは異なりますが、WIZさんの値と同じです。)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

このトピックをツリーで一括表示

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

入力内容にタグは利用できません。

数式の記述方法
TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \]　あるいは，$ TeX形式数式 $　で数式を記述します。
　TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。
Titleは質問の内容がわかりやすいように書いてください。
他人を中傷する記事は管理者の判断で予告無く削除されます。
半角カナは使用しないでください。文字化けの原因になります。
名前、Title、コメントは必須記入項目です。記入漏れはエラーになります。
入力内容の一部は、次回投稿時の手間を省くためブラウザに記録されます。
削除キーを覚えておくと、自分の記事の編集・削除ができます。
URLは自動的にリンクされます。
引用返信するときは不要な引用部分を削除してください。
記事中に No*** のように書くとその記事にリンクされます(No は半角英字/*** は半角数字)。
- No123 → 記事No123の記事リンクになります(指定表示)。
- No123,130,134 → 記事No123/130/134 の記事リンクになります(複数表示)。
- No123-130 → 記事No123～130 の記事リンクになります(連続表示)。

Name	/
E-Mail	/
└> 関連するレス記事をメールで受信しますか? / アドレス
Title	/
URL	/
Comment/ 通常モード->　図表モード-> (適当に改行して下さい/半角10000文字以内)
File	/ アップ可能拡張子=> /.gif/.jpg/.jpeg/.png/.txt/.lzh/.zip/.mid/.svg 1) 太字の拡張子は画像として認識されます。 2) 画像は初期状態で縮小サイズ250×250ピクセル以下で表示されます。 3) 同名ファイルがある、またはファイル名が不適切な場合、　　ファイル名が自動変更されます。 4) アップ可能ファイルサイズは1回200KB(1KB=1024Bytes)までです。 5) ファイルアップ時はプレビューは利用できません。 6) スレッド内の合計ファイルサイズ:[0/500KB] 残り:[500KB]
Icon	/ (画像を選択/サンプル一覧)
削除キー	/ (半角8文字以内)
解決済み! BOX/ 解決したらチェックしてください!
プレビュー/

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター