 | x+y+z=0からx/z+y/z+1=0, x^7+y^7+z^7=0から(x/z)^7+(y/z)^7+1=0
x/z=a, y/z=bとおけばa+b=-1,a^7+b^7=-1
ab=kとおく。条件からk≠0。
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2k
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)=-(1-2k)+k=3k-1
a^4+b^4=(a+b)(a^3+b^3)-ab(a^2+b^2)=-(3k-1)-k(1-2k)=2k^2-4k+1
a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b)=(3k-1)(2k^2-4k+1)+k^3=7k^3-14k^2+7k-1
7k^3-14k^2+7k-1=-1
7k^3-14k^2+7k=0
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k=1
∴a^2+b^2=1-2k=-1
a^2+b^2+1=0
(x/z)^2+(y/z)^2+1=0
∴x^2+y^2+z^2=0
ちなみにω=(-1+i√3)/2（1の虚数三乗根）として
(x,y,z)=(t,tω,tω^2)（tは0でない定数）とおけば問題の条件を満たし、
x^n+y^n+z^nは
nが3の倍数のとき 3t^n
そうでないとき 0
となります。
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