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■52123 / inTopicNo.1)  複素数
  
□投稿者/ 複素数 一般人(3回)-(2023/03/06(Mon) 10:10:33)
    複素数x,y,zが
    x+y+z=x^7+y^7+z^7=0かつxyz≠0
    を満たしているとき
    x^2+y^2+z^2
    の値を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52124 / inTopicNo.2)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2023/03/06(Mon) 12:39:42)
    x+y+z=0からx/z+y/z+1=0, x^7+y^7+z^7=0から(x/z)^7+(y/z)^7+1=0
    x/z=a, y/z=bとおけばa+b=-1,a^7+b^7=-1
    ab=kとおく。条件からk≠0。
    a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2k
    a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)=-(1-2k)+k=3k-1
    a^4+b^4=(a+b)(a^3+b^3)-ab(a^2+b^2)=-(3k-1)-k(1-2k)=2k^2-4k+1
    a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b)=(3k-1)(2k^2-4k+1)+k^3=7k^3-14k^2+7k-1
    7k^3-14k^2+7k-1=-1
    7k^3-14k^2+7k=0
    k^2-2k+1=0
    (k-1)^2=0
    k=1
    ∴a^2+b^2=1-2k=-1
    a^2+b^2+1=0
    (x/z)^2+(y/z)^2+1=0
    ∴x^2+y^2+z^2=0

    ちなみにω=(-1+i√3)/2(1の虚数三乗根)として
    (x,y,z)=(t,tω,tω^2)(tは0でない定数)とおけば問題の条件を満たし、
    x^n+y^n+z^nは
    nが3の倍数のとき 3t^n
    そうでないとき 0
    となります。

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■52125 / inTopicNo.3)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ squall 一般人(2回)-(2023/03/06(Mon) 20:25:19)
    らすかるさんは、人間コンピュータみたいですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52126 / inTopicNo.4)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(4回)-(2023/03/06(Mon) 23:07:05)
    有難うございました。
    とても分かり易かったです。
解決済み!
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