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■52127 / inTopicNo.1)

　整数ですか？

▼■

□投稿者/ 整数一般人(1回)-(2023/03/07(Tue) 16:03:40)

$2$a, \, b, \, c$ は整数で、 $2$a=b=c$ ではないとします。
$2$ \frac{(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7}{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4}$
は整数ですか？

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■52128 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数ですか？

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2023/03/07(Tue) 19:31:04)

(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7 = 7(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
なので
{(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7}/{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4} = (7/2)(a-b)(b-c)(c-a)
であり、a-b,b-c,c-aのうち少なくとも一つは偶数なので、与式は整数になります。

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■52129 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数ですか？

▲▼■

□投稿者/ 整数一般人(2回)-(2023/03/08(Wed) 09:40:53)

ありがとうございます。

解決済み!

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