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■52172 / inTopicNo.1) 　不等式
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□投稿者/ モウセンゴケ 一般人(1回)-(2023/05/04(Thu) 11:54:32)
    nが正の整数、logは自然対数のとき
    Σ[k=1→n]1/k < log(2n+1)
    の証明を教えて下さい
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■52178 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ X 一般人(3回)-(2023/05/06(Sat) 10:18:39)
    (i)n=1のとき
    1=loge＜log3
    により、問題の不等式は成立。
    (ii)n=lのとき、問題の不等式の成立を仮定すると
    Σ[k=1〜l+1]1/k＜log(2l+1)+1/(l+1) (A)
    ここで
    f(x)=log(2x+3)-log(2x+1)-1/(x+1) (B)
    と置くと
    f'(x)=2/(2x+3)-2/(2x+1)+1/(x+1)^2
    =-4/{(2x+1)(2x+3)}+1/(x+1)^2
    ={-4(x+1)^2+(2x+1)(2x+3)}/{(2x+1)(2x+3)(x+1)^2}
    =-1/{(2x+1)(2x+3)(x+1)^2}
    ∴
    1≦xに対しf'(x)＜0
    又
    lim[x→∞]f(x)=0
    ∴1≦xに対しf(x)＞0 (C)
    (A)(B)(C)から
    Σ[k=1〜l+1]1/k＜log(2l+1)+1/(l+1)＜log(2l+3)=log{2(l+1)+1}
    ∴問題の不等式n=l+1のときも成立。

    以上から数学的帰納法により、問題の不等式は成立します。
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■52180 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 不等式
□投稿者/ モウセンゴケ 一般人(2回)-(2023/05/07(Sun) 20:35:51)
    有難うございます
    とても分かりやすく教えていただけて感謝しております
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