数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■52275 / inTopicNo.1) 　複素数と図形
  ▼■
□投稿者/ sato 一般人(1回)-(2023/08/24(Thu) 20:43:57)
    異なる複素数α、β、γが2α^2+β^2+γ^2-2αβ-2αγ=0を満たすとき、
    (1) (γ-α)/(β-α) の値を求めよ。
    (2) 複素数平面上で、3点A(α)、B(β)、C(γ)を頂点とする△ABCはどのような三角形か。
    (3)α、β、γがxの3次方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)の解であるとき、α、β、γおよびkの値を求めよ。

    という問題です。

    (3)が質問です。

    解答の最初では以下のようになっています。

    　①からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。
    よって、方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。
    　【①とは(1)の解答の中で、(γ-α)/(β-α)=±i とあります】

    質問１
    　「①からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。」

    　これは、少なくとも1つが虚数でなければ、iが出てこないからという理解でよいでしょうか。

    質問２
    　　「方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。」

    　この説明で、例えば、「1つが虚数解で、2つが実数解」ということはありえないのでしょうか。

    以上2点よろしくお願いいたします。


引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52276 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 複素数と図形
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2023/08/24(Thu) 22:05:51)
    質問１はその考え方でOKです。
    質問２に関して
    実数係数三次方程式の解は
    ・実数解１つのみ
    ・実数解２つのみ
    ・実数解３つのみ
    ・実数解１つと虚数解２つ
    の場合しかあり得ません。
    なぜなら、実数係数n次方程式において
    x=a+bi（b≠0）が解であるとき、x=a-biも必ず解になるからです。
    これにより、虚数解は必ず偶数個となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ
Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター