 | n回の試行で積が2,3,4の倍数である事象をそれぞれC,B,Aとし
例えばAの余事象を\A
Aの確率をP[A]
と書くことにします。
前半)
条件から
P[C∩\A]=n(3/12)(1/2)^(n-1)=(n/2)(1/2)^n (注：積が4の倍数でない偶数)
P[\C]=(1/2)^n
∴P[A]=1-P[\A]
=1-P[\A∩(C∪\C)]
=1-{P[(\A∩C)∪(\A∩\C)]}
=1-{P[\A∩C]+P[\A∩\C]}
=1-{P[\A∩C]+P[\C]}
=1-(1+n/2)(1/2)^n (A)
後半)
n回の試行で積が12の倍数となる事象は
B∩A
となることに注意して
P[B∩A]=1-P[\(B∩A)]
=1-P[\B∪\A]
=1-{P[\B]+P[\A]-P[\B∩\A]}
=1-{P[\B]+P[\A]}+P[(\B∩\A)∩(C∪\C)]
=1-{P[\B]+P[\A]}+P[(\B∩\A∩C)∪(\B∩\A∩\C)]
=1-{P[\B]+P[\A]}+P[\B∩\A∩C]+P[\B∩\A∩\C]
=1-{P[\B]+P[\A]}+P[\B∩\A∩C]+P[\B∩\C] (B)
ここで(A)から
P[\A]=(1+n/2)(1/2)^n (C)
又
P[\B]=(1-1/3)^n=(2/3)^n (D)
P[\B∩\C]=(1/3)^n (E) (注：積が3の倍数でない奇数)
P[\B∩\A∩C]=n(1/6)(1/3)^(n-1) (注：積が3,4の倍数でない偶数)
=(n/2)(1/3)^n (F)
(B)に(C)(D)(E)(F)を代入して
P[B∩A]=1-(1+n/2)(1/2)^n-(2/3)^n+(1/3)^n+(n/2)(1/3)^n
=1-(1+n/2)(1/2)^n+(n/2+1-2^n)(1/3)^n
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