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■52351 / inTopicNo.1)  多項式の整除
  
□投稿者/ Reddit 一般人(1回)-(2023/10/09(Mon) 20:00:00)
    P(x)を整数係数モニック多項式とする。
    このときどのような整数係数多項式f(x)に対しても
    ある整数係数モニック多項式F(x)が存在して
    F(f(x))はP(x)で割り切れるようにできる
    ということの証明を教えて下さい。
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■52422 / inTopicNo.2)  Re[1]: 多項式の整除
□投稿者/ WIZ 一般人(14回)-(2023/12/30(Sat) 17:08:32)
    代数学の基本定理により、nを自然数、a[1]〜a[n]を複素数として、
    P(x) = Π[k=1, n](x-a[k])
    と書ける。
    P(x)が整数係数だから、a[1]〜a[n]の中に虚数があれば、その共役数もa[1]〜a[n]の中に含まれている。
    # P(x)が整数係数モニックだから、a[1]〜a[n]は代数的整数であり、
    # ノルムとシュプール(トレース)は有理数の整数である。

    すると、
    F(x) = Π[k=1, n](x-f(a[k]))
    とすれば、P(x) = 0の解は重複度も含めて全てF(f(x)) = 0の解であるので、
    F(f(x)) = Π[k=1, n](f(x)-f(a[k]))はP(x)で割り切れる。

    a[i]とa[j]が複素共役なら、f(x)が整数係数なのでf(a[i])とf(a[j])も複素共役となる。
    よって、F(x)は整数係数モニックであり、F(f(x))はモニックとは限らないが整数係数である。

    # 勘違いしてたらごめんなさい!
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