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■52390 / inTopicNo.1)

　環でしょうか

□投稿者/ きんぴら5号一般人(1回)-(2023/12/01(Fri) 14:31:39)

自作問題です。iは虚数単位です。
整数a,bがa≡b(mod2)のときg(a,b)=(a+bi)/2と表せる数全体をGとする。
Gは環であるか?

加減算について閉じていることは分かるのですが
乗算について閉じているのか、いないのかが分かりません。

整数c,dがc≡d(mod2)のときg(a,b)*g(c,d)={(ac-bd)+(ad+bc)i}/4ですので
ac-bdとad+bcが共に偶数で、(ac-bd)/2と(ad+bc)/2がmod2で合同であれば良いのですが
g(a,b)*g(c,d)∈Gを示すことも否定することもできていません。

分かる方がいましたら教えてください。よろしくお願いいたします。

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■52391 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 環でしょうか

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2023/12/01(Fri) 14:44:59)

質問の意味を誤解しているかも知れませんが、
{(1+i)/2}^2=(0+i)/2なので閉じていないのでは？

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■52392 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 環でしょうか

▲▼■

□投稿者/ きんぴら5号一般人(2回)-(2023/12/01(Fri) 15:38:00)

らすかる様返信ありがとうございます。
質問した乗法に閉じているかの反例になっています。
つまり、Gは環ではなかったということですね。(残念)

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