数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■52415 / inTopicNo.1) 　三角形
  ▼■
□投稿者/ バイアス 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:47:35)
    △OABにおいて角Oの大きさをθラジアンとする。
    2AB>(1-cosθ)(OA+OB)
    が成り立つことを示せ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52420 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 三角形
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 07:59:07)
    2023/12/30(Sat) 09:09:48 編集(投稿者)

    2AB>(1-cosθ)(OA+OB)⇔2sinθ>(1-cosθ)(sinA+sinB) (∵)正弦定理
    ⇔2sin(A+B)>{1+cos(A+B)}(sinA+sinB) (A)
    ∴(A)を証明します。

    ((A)の左辺)-((A)の右辺)=2sin(A+B)-{1+cos(A+B)}(sinA+sinB)
    =2sin(A+B)-4sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}{cos{(A+B)/2}}^2
    ((∵)和積の公式と半角の公式)
    =2sin(A+B)-2sin(A+B)cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}
    =2sin(A+B){1-cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}} (B)
    ここで
    0＜A＜π,0＜B＜π,0＜θ＜π (P)
    A+B+θ=π (Q)
    ∴
    0＜A+B＜π
    なので
    sin(A+B)＞0 (C)
    更に(P)(Q)より
    0＜(A+B)/2＜π/2
    -π/2＜(A-B)/2＜π/2
    又、
    (A+B)/2=(A-B)/2=0
    とはなりえないので
    cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}＜1 (D)
    (C)(D)より
    (B)＞0
    よって(A)は成立します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ
Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター