 | 問題文が曖昧です。
最初に引いた7で割り切れない自然数をnとします。
そして小さい袋には「入れた自然数のすべての正の約数がひとつずつ中に現れる」とありますが、
n自身もnの正の約数なのだから、nも現れて、
小さい袋の中には「入れたn」と「現れたn」の2個のnがあると考えるのか?
それとも、n自身を除く正の約数がひとつずつ現れるのか?
「無作為にひとつ引け。引いた約数は・・・」とありますが、
この「引いた約数」にn自身は含めるのか?
もし、現れた正の約数がn自身を除くものなら、「引いた約数」にn自身は含めないのか?
以下、この問題の参考情報としてコメントします。
約数には自身も含めるものとします。
法7で1, 2, 4は平方剰余で、3, 5, 6は平方非剰余です。
以下は既知とします。
(1)平方剰余と平方剰余の積は平方剰余である。
(2)平方非剰余と平方非剰余の積は平方剰余である。
(3)平方剰余と平方非剰余の積は平方非剰余である。
nは7で割り切れない自然数なので、nの正の約数も7で割り切れない自然数となります。
nの正の約数の内、法7で平方剰余であるものの個数をf(n)、
nの正の約数の内、法7で平方非剰余であるものの個数をg(n)とします。
s(n) = f(n)-g(n)とおきます。
[補題1]
a, bを互いに素な自然数とすると、s(ab) = s(a)s(b)となることを示します。
abの約数の内、法7で平方剰余であるのは、
{aの約数で平方剰余であるもの}*{bの約数で平方剰余であるもの}のf(a)f(b)個と、
{aの約数で平方非剰余であるもの}*{bの約数で平方非剰余であるもの}のg(a)g(b)個の合計で、
f(ab) = f(a)f(b)+g(a)g(b)個です。
abの約数の内、法7で平方非剰余であるのは、
{aの約数で平方剰余であるもの}*{bの約数で平方非剰余であるもの}のf(a)g(b)個と、
{aの約数で平方非剰余であるもの}*{bの約数で平方剰余であるもの}のg(a)f(b)個の合計で、
g(ab) = f(a)g(b)+g(a)f(b)個です。
よって、
s(ab) = f(ab)-g(ab) = {f(a)f(b)+g(a)g(b)}-{f(a)g(b)+g(a)f(b)} = {f(a)-g(a)}{f(b)-g(b)} = s(a)s(b)
となります。
[補題1 終了]
[補題2]
pを7以外の自然数の素数、mを自然数とします。
pが法7で平方剰余の場合、p^mの正の約数は1, p, p^2, ・・・, p^mのm+1個で、
全て法7で平方剰余なので、f(p^m) = m+1, g(p^m) = 0となり、s(p^m) = m+1となります。
pが法7で平方非剰余の場合、
mが偶数ならば、1, p^2, p^4, ・・・, p^mのm/2+1個が平方剰余で、
p, p^3, p^5, ・・・, p^(m-1)のm/2個が平方非剰余となり、
f(p^m) = m/2+1, g(2^m) = m/2, s(p^m) = 1となります。
mが奇数ならば、1, p^2, p^4, ・・・, p^(m-1)の(m+1)/2個が平方剰余で、
p, p^3, p^5, ・・・, p^mの(m+1)/2個が平方非剰余となり、
f(p^m) = g(2^m) = (m+1)/2, s(p^m) = 0となります。
従って、いずれの場合もs(p^m) ≧ 0と言えます。
[補題2 終了]
nがk個の異なる素因数を持つものとし、その素因数をp[1], p[2], ・・・, p[k]、
素因数の指数をe[1], e[2], ・・・, e[k]とすると、
n = Π[j=1,k]{p[j]^e[j]}
⇒ s(n) = Π[j=1,k]s(p[j]^e[j]) ≧ 0
⇒ f(n) ≧ g(n)
となります。
つまり、7で割り切れない自然数nの正の約数の内、7を法として平方剰余であるものの個数f(n)は
平方非剰余であるものの個数g(n)より少ないことはないと言えるので、
平方剰余である1, 2, 4の方に賭ける方が確率的には良いのかもしれません。
# 上記解説の法は7である必要はなく、任意の奇素数を法として成立すると考えられます。
長文失礼しました。
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