 | aが偶数と仮定すると
a=0(mod2)
a^2=0(mod4)
Aが偶数と仮定すると
A=0(mod2)
A^2=0(mod4)
だから
1=a^2+A^2+bc+BC=bc+BC(mod4)
bc+BC=1(mod4)
だから
3=bc+BC+d^2+D^2=1+d^2+D^2(mod4)
だから
d^2+D^2=2(mod4)
だから
d=D=1(mod2)
↓a=A=0(mod2)だから
0=ab+AB+bd+BD=b+B(mod2)
だから
b=B(mod2)
d=D=1(mod2),a=A=0(mod2)だから
0=ac+AC+cd+CD=c+C(mod2)
だから
c=C(mod2)
↓これとb=B(mod2)から
1=bc+BC=bc+bc=0(mod2)
となって矛盾するから
Aは奇数だから
A=1(mod2)
A^2=1(mod4)
だから
1=a^2+A^2+bc+BC=1+bc+BC(mod4)
だから
bc+BC=0(mod4)
だから
3=bc+BC+d^2+D^2=d^2+D^2(mod4)
d^2+D^2=3(mod4)
d^2=0.or.1(mod4)
D^2=0.or.1(mod4)
だから
d^2+D^2≠3(mod4)
となって矛盾するから
aは奇数だから
a=1(mod2)
a^2=1(mod4)
Aが偶数と仮定すると
A=0(mod2)
A^2=0(mod4)
だから
1=a^2+A^2+bc+BC=1+bc+BC(mod4)
だから
bc+BC=0(mod4)
だから
3=bc+BC+d^2+D^2=d^2+D^2(mod4)
d^2+D^2=3(mod4)
d^2=0.or.1(mod4)
D^2=0.or.1(mod4)
だから
d^2+D^2≠3(mod4)
となって矛盾するから
Aは奇数だから
A=1(mod2)
A^2=1(mod4)
1=a^2+A^2+bc+BC=2+bc+BC(mod4)
だから
bc+BC=3(mod4)
だから
3=bc+BC+d^2+D^2=3+d^2+D^2(mod4)
だから
d^2+D^2=0(mod4)
d=D=1(mod2)のときd^2+D^2=2(mod4)
d=0,D=1.or,d=1,D=0 (mod2)のときd^2+D^2=1(mod4)
だから
d=D=0(mod2)
だから
0=ab+AB+bd+BD=b+B(mod2)
だから
b=B(mod2)
0=ac+AC+cd+CD=c+C(mod2)
c=C(mod2)
↓これとb=B(mod2)から
bc+BC=bc+bc=0(mod2)
となって
bc+BC=3=1(mod2)
に矛盾するから
a^2+A^2+bc+BC=1
bc+BC+d^2+D^2=3
ab+AB+bd+BD=ac+AC+cd+CD=0
をみたす整数は存在しない
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