 | 以下の問題で、(1)と同じように(2)を期待値の線形性を利用して解く方法を教えてください。
確率変数 X_k をどう定義したらいいのかわかりません。
(1)サイコロを3回振るとき、1の目が出る回数Xの期待値を求める。
P(X=k)=C(3,k)(1/6)^3*(5/6)^(3-k) (k=0,1,2,3)
E[X]=Σ[0〜3]kP(X=k)
=0+C(3,1)(1/6)*(5/6)^2+2*C(3,2)(1/6)^2*(5/6)+3*C(3,1)(1/6)*(5/6)^3
=(75+30+3)/216=1/2
一方確率変数X_kを
X_k={1：k回目に1の目が出る (1≦k≦3)
{0：k回目に1の目が出ない
と定めると、
E[X_k]=1(1/6)+0(5/6)=1/6 (1≦k≦3)
期待値の線形性より
E[X]=E[X_1+X_2+X_3 ]=E[X_1 ]+E[X_2 ]+E[X_3 ]=3(1/6)=1/2
(2)サイコロを5回投げてk回だけ3の倍数の目が出る回数を確率変数Xとするとき、その確率分布は
P(X=k) = C(5,k)(1/3)^k*(2/3)^(5-k)
なので、期待値を地道に計算すれば
E[X]=Σ[0〜35]
= 0 + 1(80/243) +2(80/243) + 3(40/243) + 4(10/243 + 5(1/243) = 405/243
(1)にならって、確率変数X_kを
X_k={1：k回目に3の倍数の目が出る (1≦k≦5)
{0：k回目に3の倍数の目が出ない
と定めても
E[X_k]=1(1/3)+0(2/3)=1/3 (1≦k≦5)
となってうまくいきません。
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