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■52663 / inTopicNo.1) 　漸化式と不等式
  ▼■
□投稿者/ 数列 一般人(3回)-(2025/01/09(Thu) 17:16:37)
    a[0]=1,a[1]=1/2,
    (n+1)a[n+1]=(n+ 1/2)a[n] -na[n-1]
    のとき,
    a[n]^2>a[n+1]a[n-1]
    の証明を教えて下さい.
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■52700 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 漸化式と不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2025/03/02(Sun) 21:45:52)
    2025/03/02(Sun) 21:50:38 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとする。
    また、nは自然数で、以下の漸化式と解釈して回答します。
    (n+1)a[n+1] = (n+(1/2))a[n]-n*a[n-1]

    ⇒ a[n] = {(n+1)a[n+1]+n*a[n-1]}/(n+1/2)
    ⇒ a[n]^2 = {((n+1)^2)a[n+1]^2+2(n+1)n*a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2}/{(n+1/2)^2}
    ⇒ a[n]^2-a[n+1]a[n-1] = {((n+1)^2)a[n+1]^2+((2n^2+2n)-(n^2+n+1/4))a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2}/{(n+1/2)^2}

    ここで、上記の右辺分母は正ですから、左辺と右辺分子の符号は同じです。

    {上記右辺分子} = ((n+1)^2)a[n+1]^2+(n^2+n-1/4)a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2
    = ((n+1)^2)a[n+1]^2+2(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]*n*a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2
    = ((n+1)^2-(n/2+1/2-1/(8n))^2)a[n+1]^2+{(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2
    = (n/2+1/2+1/(8n))(3n/2+3/2-1/(8n))a[n+1]^2+{(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2
    ≧ 0

    上記で等号が成立するのは、(n/2+1/2+1/(8n))(3n/2+3/2-1/(8n)) > 0であることから、
    a[n+1]^2 = 0 かつ {(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2 = 0 のときであり、
    整理すると a[n+1] = 0 かつ a[n-1] = 0 の場合です。
    また、この場合、漸化式から a[n] = 0 です。
    更に a[n] = 0 かつ a[n+1] = 0 ならば、漸化式より a[n+2] 以降の全ての項が0となります。

    以下、連続する2項が0にはなり得ないことを示します。
    a[0] ≠ 0 かつ a[1] ≠ 0 なので、mを2以上の自然数として a[m-1] ≠ 0 かつ a[m] = 0 であると仮定します。
    漸化式から、(m+1)a[m+1] = m*a[m-1] つまり a[m+1] ≠ 0 となります。
    同様に漸化式から、(m+2)a[m+2] = (m+1+1/2)a[m+1] つまり a[m+2] ≠ 0 となります。

    a[m+3] = 0 か a[m+3] ≠ 0 かは漸化式からは決定できませんが、
    a[m+3] 以降で最初に 0 となる項を a[p] とすれば、a[p-1] ≠ 0 ですので、
    上記の「a[m-1] ≠ 0 かつ a[m] = 0 である〜」の論法を繰り返すことにより、
    a[p+1] ≠ 0 かつ a[p+2] ≠ 0 と言えますので、連続した2項が0になることはないと言えます。

    以上から、不等式で等号は成立せず a[n]^2-a[n+1]a[n-1] > 0 となります。

    # 計算間違いと、後半の論理には自信がありませんので識者の方のツッコミをお願いします。
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