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■52772 / inTopicNo.1)

　klog(1+1/k) < 1を証明する

□投稿者/ 星は昴一般人(3回)-(2025/03/18(Tue) 17:49:52)

　kを自然数とするとき

　　klog(1+1/k) < 1 ……※

を証明する。

　　(1+1/k) > 1
　　log(1+1/k) > log(1) = 0
　　klog(1+1/k) > 0

　ここまではわかるのですが※がどうしてもわかりません。

具体的に計算すると

　　1*log(1+1/1)≒0.693147180559945
　　2*log(1+1/2)≒0.810930216216329
　　3*log(1+1/3)≒0.863046217355343
　　100*log(1+1/100)≒0.995033085316808
　　1000*log(1+1/1000)≒0.999500333083533

なので※が成り立つのは間違いなさそうですが・・・

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■52773 / inTopicNo.2)

　Re[1]: klog(1+1/k) < 1を証明する

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2025/03/18(Tue) 18:20:10)

x＞0に対して
f(x)=log(1+1/x)-1/x
とおくと
f'(x)=1/(x^3+x^2)＞0
であり
lim[x→∞]f(x)=0
なので
f(x)＜0
よって
log(1+1/x)-1/x＜0
log(1+1/x)＜1/x
xlog(1+1/x)＜1
従ってkが自然数ならば
klog(1+1/k)＜1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■52775 / inTopicNo.3)

　Re[2]: klog(1+1/k) < 1を証明する

▲▼■

□投稿者/ 星は昴一般人(4回)-(2025/03/18(Tue) 20:27:16)

　ありがとうございました。導関数の計算に戸惑っていました（笑）。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

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