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■52978 / inTopicNo.1) 　極限
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□投稿者/ 長所 一般人(1回)-(2025/11/21(Fri) 18:33:14)
    lim[x→0](xe^x-e^x+1)/(xe^x-x)
    は高校数学でどう求めるのでしょうか？
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■53022 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2026/01/20(Tue) 16:17:00)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    lim[x→0]{(x(e^x)-(e^x)+1)/(x(e^x)-x)} の計算と解釈して回答します。

    0/0型の不定形なので、ロピタルの定理を使っても良いのなら求められます。
    # 高校数学でも証明抜きでロピタルの定理の使用は認められていますよね?
    分母と分子を微分すると0/0不定形は解消されませんが、
    もう1回ずつ微分すると極限が1/2であることが示せます。

    lim[x→0](xe^x-e^x+1)/(xe^x-x)
    = lim[x→0](xe^x)/(xe^x+e^x-1) # ロピタルの定理の使用1回目
    = lim[x→0](xe^x+e^x)/(xe^x+2e^x) # ロピタルの定理の使用2回目
    = 1/2

    以下、ロピタルの定理を使わない場合の計算方法を示します。

    [補題1]
    e^x と 1+x+x^2/2 の大小関係は、
    x > 0 なら e^x > 1+x+x^2/2
    x = 0 なら e^x = 1+x+x^2/2
    x < 0 なら e^x < 1+x+x^2/2
    が成立する。

    [補題2]
    e^x と 1+x+(x^2/2)e^x の大小関係は
    x > 0 なら e^x < 1+x+(x^2/2)e^x
    x = 0 なら e^x = 1+x+(x^2/2)e^x
    x < 0 なら e^x > 1+x+(x^2/2)e^x
    が成立する。

    # 差を取り、導関数を(必要に応じて2次以降の導関数も)求めて
    # 増減を調べれば良いだけなので証明は割愛します。

    (1) x > 0 の場合
    補題1と補題2より、
    1+x+x^2/2 ≦ e^x ≦ 1+x+(x^2/2)e^x
    ⇒ 1+x/2 ≦ (e^x-1)/x ≦ 1+(x/2)e^x
    と言えます。

    {与式} = (xe^x-e^x+1)/(xe^x-x) = (e^x-(e^x-1)/x)/(e^x-1)
    ⇒ (e^x-(1+(x/2)e^x))/(e^x-1) ≦ {与式} ≦ (e^x-(1+x/2))/(e^x-1)
    ⇒ 1-(1/2)e^x*x/(e^x-1) ≦ {与式} ≦ 1-(1/2)x/(e^x-1)

    ここで、
    lim[x→0]{x/(e^x-1)} = lim[x→0]{1/{(e^x-e^0)/x}}
    上記は e^x の x = 0 の時の微分係数の逆数です。
    # 高校数学の範囲外ですが、厳密には lim[x→+0] なので右微分係数です。
    # e^x は任意の実数xで右微分係数と左微分係数が一致するので、微分係数としても大丈夫です。

    e^x の導関数は e^x なので、
    lim[x→0]{x/(e^x-1)} = 1/e^0 = 1/1 = 1
    となります。

    以上から、x→0 のとき
    1-(1/2)e^0*1 ≦ {与式} ≦ 1-(1/2)*1
    ⇒ {与式} = 1/2
    となります。

    (2) x < 0 の場合
    補題1と補題2より、
    1+x+(x^2/2)e^x ≦ e^x ≦ 1+x+x^2/2
    ⇒ 1+(x/2)e^x ≧ (e^x-1)/x ≧ 1+x/2
    # 負の数であるxで除算したため不等号の向きが反転しています。

    以降の式変形は x > 0 の場合とほぼ同じなので割愛します。

    補題1はともかく、補題2の不等式を思い付くのは難易度が高いと思います。
    # 私もgemini3に質問して、その誤った解法(!)からヒントを得ました!
    長文失礼しました。
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