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■52985 / inTopicNo.1) 　フィボナッチ数
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□投稿者/ コアラ 一般人(1回)-(2025/11/27(Thu) 20:36:03)
    mを4以上の整数とします。

    {F[n]}をフィボナッチ数列とします。
    F[1]=F[2]=1, F[n+2]=F[n+1]+F[n]。

    gcd(F[2m],F[2m+1]+1)>1
    かつ
    gcd(F[2m],F[2m+1]-1)>1
    といえますか？

    反例か証明を教えてください。
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■52990 / inTopicNo.2) 　Re[1]: フィボナッチ数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2025/12/01(Mon) 03:21:52)
    2025/12/01(Mon) 05:44:54 編集(投稿者)

    ちょっと時間がないのでヒントだけ
    （もっと良い方法があるかも知れません）

    まず
    F[2m]=F[m](F[m-1]+F[m+1]) … (1)
    F[2m+1]=(F[m+1])^2+(F[m])^2 … (2)
    (F[2m])^2+1=F[2m-1]F[2m+1] … (3)
    (F[2m+1])^2-1=F[2m]F[2m+2] … (4)
    を示す

    (1)から
    F[4m]=F[2m](F[2m-1]+F[2m+1])

    (2)から
    F[4m+1]+1=(F[2m+1])^2+(F[2m])^2+1
    =(F[2m+1])^2+F[2m+1]F[2m-1]　※(3)を使った
    =F[2m+1](F[2m-1]+F[2m+1])
    ∴F[4m]とF[4m+1]+1は両方ともF[2m-1]+F[2m+1]で割り切れる。

    (2)から
    F[4m+1]-1=(F[2m+1])^2+(F[2m])^2-1
    =F[2m]F[2m+2]+(F[2m])^2　※(4)を使った
    =F[2m](F[2m]+F[2m+2])
    ∴F[4m]とF[4m+1]-1は両方ともF[2m]で割り切れる。

    (1)から
    F[4m+2]=F[2m+1](F[2m]+F[2m+2])

    (2)から
    F[4m+3]+1=(F[2m+2])^2+(F[2m+1])^2+1
    =F[2m+1]F[2m+3]+(F[2m+1])^2　※(3)を使った
    =F[2m+1](F[2m+1]+F[2m+3])
    ∴F[4m+2]とF[4m+3]+1は両方ともF[2m+1]で割り切れる。

    (2)から
    F[4m+3]-1=(F[2m+2])^2+(F[2m+1])^2-1
    =(F[2m+2])^2+F[2m]F[2m+2]　※(4)を使った
    =F[2m+2](F[2m]+F[2m+2])
    ∴F[4m+2]とF[4m+3]-1は両方ともF[2m]+F[2m+2]で割り切れる。

    従って命題は成り立つ。

    (追記)
    (1)〜(4)の証明は以下のサイトをご覧下さい。
    shochandas.xsrv.jp/fibonacci/fibonacci.htm
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■52991 / inTopicNo.3) 　Re[2]: フィボナッチ数
□投稿者/ コアラ 一般人(2回)-(2025/12/03(Wed) 12:19:59)
    よく分かりました。
    ありがとうございました。
解決済み!
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