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■53051 / inTopicNo.1) 　グラフの凸
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□投稿者/ ゆい 一般人(1回)-(2026/02/27(Fri) 16:53:35)
    f(x)=(cosx)^(cosx)が0<x<π/4で上に凸であることってどのように証明できますか？
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■53053 / inTopicNo.2) 　Re[1]: グラフの凸
□投稿者/ らすかる 一般人(18回)-(2026/02/27(Fri) 19:53:33)
    2026/03/01(Sun) 03:32:01 編集(投稿者)

    ※以下の解答は計算間違いで正しくありませんでした。
    ※また質問の命題は成り立たないようです。

    f(x)=(cosx)^(cosx) から
    f'(x)=-(cosx)^(cosx)・sinx・(1-log(cosx))
    f''(x)=(cosx)^(cosx)/cosx・{(sinx)^2・cosx・(1-log(cosx))^2+(cosx)^2・log(cosx)-1}

    (sinx)^2・cosx=sinx・(1/2)sin2x
    0≦sinx≦1/√2
    0≦sin2x≦1
    なので
    0≦(sinx)^2・cosx≦1/(2√2)

    1/√2≦cosx≦1
    -(1/2)log2≦log(cosx)≦0
    log2＜1なので
    -1/2＜log(cosx)≦0
    1≦1-log(cosx)＜3/2
    1≦(1-log(cosx))^2＜(3/2)^2=9/4
    ∴0≦(sinx)^2・cosx・(1-log(cosx))^2＜(9/4)/(2√2)=9/(8√2)=√(81/128)＜1

    log(cosx)≦0なので
    (cosx)^2・log(cosx)≦0

    従って{　}内は負で{　}の前は正なのでf''(x)＜0となり、上に凸。

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■53056 / inTopicNo.3) 　Re[2]: グラフの凸
□投稿者/ ゆい 一般人(2回)-(2026/02/27(Fri) 21:44:20)
    すごい…ありがとうございました。、
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■53057 / inTopicNo.4) 　Re[1]: グラフの凸
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2026/02/28(Sat) 19:05:11)
    らすかるさんの解答に計算間違いがあります。
    # 質問者さんはもう見てないかもしれないけど

    > f'(x)=-(cosx)^(cosx)・sinx・(1-log(cosx))

    log(f(x)) = cos(x)log(cos(x)) とすると、
    f'(x)/f(x) = -sin(x)log(cos(x))+cos(x){-sin(x)/cos(x)} = -sin(x){log(cos(x))+1}
    ⇒ f'(x) = -f(x)sin(x){log(cos(x))+1}
    となると思います。
    # wolfram alphaも同じ意見です!

    ちなみに正しいf''(x)は以下の通りですが、
    らすかるさんと同様の数値評価をしてもf''(x) < 0 を上手く示せませんでした。
    f''(x) = {f(x)/cos(x)}{(sin(x)^2)cos(x){log(cos(x))+1}^2-(cos(x)^2){log(cos(x))+1}+sin(x)^2}
    # 私が計算間違いしてるだけかもしれないけど。

    wolfram alphaによると x ≒ 0.63 (= aとおく) 付近で f''(x) = 0 となり、これはf(x)の変曲点です。
    a < π/4 なので (a, π/4) でf(x)は下に凸となり、題意は成立しない気がします。
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■53058 / inTopicNo.5) 　Re[2]: グラフの凸
□投稿者/ らすかる 一般人(20回)-(2026/02/28(Sat) 20:18:13)
    すべてWIZさんのおっしゃる通りです。
    私の計算は間違えていましたし、
    元の問題も確かに成立しませんね。

    # (π/4,1/2^(2√2))を通る近似直線を引いたグラフを描いて
    # 縦に思いっきり伸ばすと、確かに0.63〜π/4あたりで下に凸になっていました。

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