| (a) 条件から y[n+1]={1/(n+1)}Σ[k=1〜n+1]x[k] ={n/(n+1)}{y[n]+(1/n)x[n+1]} ={n/(n+1)}y[n]+{1/(n+1)}x[n+1]
(b) (a)のy[n]を使うと、証明すべき等式は f(y[n])≦(1/n)Σ[k=1〜n]f(x[k]) (A) と同値となることから、(A)を証明します。
(i)n=1のとき y[n]=x[1]となることから(A)は成立。 (ii)n=lのとき、(A)の成立を仮定します。 つまり f(y[l])≦(1/l)Σ[k=1〜l]f(x[k]) (A)' さて(a)の結果により f(y[l+1])=f({l/(l+1)}y[l]+{1/(l+1)}x[l+1]) ここで l/(l+1)=1-1/(l+1) であることから、(1)により f(y[l+1])≦{l/(l+1)}f(y[l])+{1/(l+1)}f(x[l+1]) これに(A)'を用いると f(y[l+1])≦{l/(l+1)}(1/l)Σ[k=1〜l]f(x[k])+{1/(l+1)}f(x[l+1]) これより f(y[l+1])≦{1/(l+1)}{Σ[k=1〜l]f(x[k])+f(x[l+1])} ∴f(y[l+1])≦{1/(l+1)}{Σ[k=1〜l+1]f(x[k]) ですので(A)はn=l+1のときも成立。
(i)(ii)から数学的帰納法により、(A)は成立します。
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