 | はじめまして。マシュマロと申します。
みたところ、「ｋ＜９／４またはｋ＞４」が必要十分なのではないかと思います。
以下、その説明です。
Ｄ＝ｂ＾２−４aｃ，ｓ＝a＋ｂ＋ｃ，ｍ＝max｛a，ｂ，ｃ｝とおきます。
（１）ｍ＝ｂの場合
この場合、仮にｂ＜０ならばＤ＜０となって条件に反するので
ｂ≧０です。
ｂ＝０のとき、条件を満たすのはaｃ＝０のときで、
このときはｓ≦０かつｍ＝０なので、ｓ＞ｋｍを満たすｋは
存在しません。
よってｂ＞０です。さらに場合分けします。
（１‐１）aｃ≦０のとき
このときはＤ＞０となり、条件が満たされます。
a≧０として一般性を失いません。
このとき、ｓはa＝ｂ，ｃ＝０のとき最大値２ｂをとります。
よってｋ＜２ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。
（１‐２）a，ｃ＞０のとき
Ｄ≧０となるのはaｃ≦ｂ＾２のときで、a，ｃ≦ｂの条件下においてｓは
（a，ｃ）＝（ｂ，ｂ／４），（ｂ／４，ｂ）のとき、最大値９／４ｂを
とります。
よってｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。
（１‐３）a，ｃ＜０のとき
a，ｃ→０とすることによりｓの上限はｂであることがわかります。
よってｋ＜１ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。
よって、ｍ＝ｂの場合はｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ることがわかりました。
（２）ｍ＝aの場合
さらに場合分けします。
（２‐１）a＝０のとき
この場合はＤ≧０ですが、ｓ≦０，ｍ＝０なのでｓ＞ｋｍとはなり得ません。
（２‐２）a＞０，ｃ≦０のとき
この場合はＤ≧０が満たされます。
ｓはｂ＝a，ｃ＝０のとき、最大値２aをとります。
よってｋ＜２ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。
（２‐３）a＞０，ｃ＞０のとき
Ｄ≧０よりｂ≧２√（aｃ）ですが、ｂ≦aよりｃ≦a／４です。
よってｓは（ｂ，ｃ）＝（a，a／４）のとき、最大値９a／４をとります。
従ってｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。
（２‐４）a＜０のとき
ｍ＝aなのでｂ，ｃ≦aです。
D≧０となるのはｂ≦−２√（aｃ）のときです。
ｓは（ｂ，ｃ）＝（２a，a）のとき最大値４aをとります。
よって、ｋ＞４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。
従ってｍ＝aの場合はｋ＜９／４またはｋ＞４ならば
ｓ＞ｋｍとなり得ることがわかりました。
（３）ｍ＝ｃのとき
これは（２）の場合と同様なので、ｋ＜９／４またはｋ＞４のときに
ｓ＞ｋｍとなり得ます。
（１）〜（３）により、求める必要十分条件は
「ｋ＜９／４またはｋ＞４」であることがわかりました。□
以上のようになりました。
場合分けが多いので合っているかどうかわかりませんが、
参考になれば幸いです。
ではでは☆
|