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■48824 / 親記事)  不等式
  
□投稿者/ 虚言症 一般人(1回)-(2018/09/21(Fri) 08:33:32)
    において

    が成り立つことの証明を教えて下さい。
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■48838 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2018/09/23(Sun) 14:22:56)
    与不等式の左辺はx=πに関して対称なので、0<x≦πに関して示せば十分。

    0<x≦π/2のとき
    sinx>x-x^3/6=(-x^3+6x)/6
    cosx<1-x^2/2+x^4/24=(x^4-12x^2+24)/24
    2sin(x/2)<xから
    log(2sin(x/2))<logx<(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
    =(2x^3-9x^2+18x-11)/6
    なので
    (π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
    >(3-x)(-x^3+6x)/6-2(x^4-12x^2+24)/24・(2x^3-9x^2+18x-11)/6
    =(-2x^7+9x^6+6x^5-85x^4+132x^3+12x^2-216x+264)/72
    =(2t^7+129xt^5+(783x^3+4796)t^2+3(5x+36)t^3+17654t+41984)/157464+1
    >1 (ただしt=5-3x>0)

    π/2≦x≦πのときy=π-xとおくと0≦y≦π/2で
    (π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
    =ysin(π-y)-2(cos(π-y))log(2sin((π-y)/2))
    =ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
    siny>y-y^3/6=(-y^3+6y)/6
    cosy>1-y^2/2=(-y^2+2)/2
    2cos(y/2)>(16-3y)/8から
    log(2cos(y/2))>log((16-3y)/8)>(8-3y)/8-((8-3y)/8)^2/2
    =(-9y^2+64)/128
    なので
    ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
    >y(-y^3+6y)/6+2(-y^2+2)/2・(-9y^2+64)/128
    =(-37y^4+138y^2+384)/384
    =y^2(138-37y^2)/384+1
    ≧1

    ∴(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))≧1

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■48839 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 虚言症 一般人(2回)-(2018/09/24(Mon) 22:50:11)
    有り難うございます。
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