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■48825 / 親記事)  ベクトルについて。
  
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 15:04:35)
    4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある。このとき
    (1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする。ただし、0<a<1である。このとき
    点Dの座標をaを用いて表せ。

    (2)点Aを通り、ベクトルn↑=(-3,1,2)に垂直な平面をαとする。
    @平面αと線分BCの交点を求めよ。
    A四面体OABCの体積をVとする。四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
    そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする。このとき、V1/Vの値を求めよ。
    教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
    (2)からわかりません。
    マルチポストですみません。
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■48864 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2018/10/16(Tue) 16:07:26)
    4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある.
    このとき
    (1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする.
    ただし、0<a<1である.
    D
    =(1-a)B+aC
    =(1-a)(4,-1,3)+a(-2,1,7)
    =(4-6a,2a-1,4a+3)

    (2)点Aを通り、ベクトルn↑=(-3,1,2)に垂直な平面をαとする.
    @平面αと線分BCの交点をD=(x,y,z)とすると
    Dは平面α上の点だから
    (D-A,n↑)=0
    ((x,y,z)-(1,2,4),(-3,1,2))=0
    -3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0
    Dは線分BC上の点だから(1)から
    (x,y,z)=D=(4-6a,2a-1,4a+3)
    x=4-6a
    y=2a-1
    z=4a+3
    だからこれを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
    -3(4-6a-1)+(2a-1-2)+2(4a+3-4)=0
    -3(3-6a)+2a-3+2(4a-1)=0
    -9+18a+2a-3+8a-2=0
    28a-14=0
    2a-1=0
    2a=1
    a=1/2
    これを(x,y,z)に代入すると
    x=4-6/2=1
    y=2/2-1=0
    z=4/2+3=5
    ∴平面αと線分BCの交点は
    (1,0,5)

    A四面体OABCの体積をVとする.
    四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
    そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする.

    平面αと線分OCの交点をE=(x,y,z)とすると
    OC上の点だから
    (x,y,z)=tC,0<t<1となるtがあるから
    (x,y,z)=t(-2,1,7)=(-2t,t,7t)
    平面α上の点だから
    これを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
    -3(-2t-1)+t-2+2(7t-4)=0
    6t+3+t-2+14t-8=0
    21t-7=0
    3t-1=0
    3t=1
    t=1/3
    E=(x,y,z)=(-2/3,1/3,7/3)
    OE=(1/3)OC
    CE=(2/3)CO
    CD=(1/2)CB
    だから
    |△CDE|=(1/2)|CD||CE|sin∠BCO
    |△BCO|=(1/2)|BC||CO|sin∠BCO
    だから
    |△CDE|/|△BCO|
    =(|CD|/|BC|)(|CE|/|CO|)
    =(1/2)(2/3)
    =1/3

    V1=|CADE|
    の底面は△CDE,高さはAと面BCOの距離

    V=|OABC|
    の底面は△BCO,高さはAと面BCOの距離
    だから
    V1/V
    =|△CDE|/|△BCO|
    =1/3
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■48866 / ResNo.2)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2018/10/22(Mon) 19:13:28)
    ありがとうございました。とても助かりました。
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