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■48827
/ 親記事)
三次方程式
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□投稿者/ 大阪なほみ
一般人(2回)-(2018/09/22(Sat) 16:04:38)
実数a,b,cが0<a<c<b<1を満たすとき、
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=0
の解は全て絶対値が2以下であることを示せ。
教えて下さい。よろしくお願いします。
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■48828
/ ResNo.1)
Re[1]: 三次方程式
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□投稿者/ らすかる
一般人(15回)-(2018/09/22(Sat) 18:19:08)
x>2のとき
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x-2)(x^2+x-1)+(x^2-2)(1-a)+b(x-1)+(b-c)>0
x<-2のとき
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x+2){x^2+(1-x)}-(x+1)^2-ax^2+bx-(c-a)-(1-a)<0
∴解の絶対値は2以下
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■48829
/ ResNo.2)
Re[2]: 三次方程式
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□投稿者/ 大阪なほみ
一般人(3回)-(2018/09/22(Sat) 20:07:36)
ひとつ質問よろしいでしょうか。
虚数解をもつことはないのでしょうか?
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■48831
/ ResNo.3)
Re[3]: 三次方程式
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□投稿者/ らすかる
一般人(16回)-(2018/09/22(Sat) 23:28:17)
ごめんなさい、勝手に実数範囲と思い込んでいました。
でも虚数解を持つかどうか調べたところ、
この方程式はたまたま全ての解が実数ですので
(そのことを示す必要はありますが)大丈夫でした。
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■48836
/ ResNo.4)
Re[4]: 三次方程式
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□投稿者/ らすかる
一般人(21回)-(2018/09/23(Sun) 07:31:02)
解答を以下のように訂正します。
f(x)=x^3-ax^2+(b-3)x+2a-cとすると
f(-2)=-(2a+2b+c+2)<0
f(-1)=a+(1-b)+(1-c)>0
f(1)=-{(1-a)+(1-b)+c}<0
f(2)=2(1-a)+(b-c)+b>0
なので、f(x)=0は(-2,-1),(-1,1),(1,2)の各区間内に実数解を一つずつ持つ。
従ってf(x)=0の解は全て絶対値が2以下。
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■48837
/ ResNo.5)
Re[5]: 三次方程式
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□投稿者/ 大阪なほみ
一般人(4回)-(2018/09/23(Sun) 11:36:47)
ありがとうございます!!
こうやれば良かったんですね。
非常に爽快な解法を教えていただき
大変勉強になりました。
解決済み!
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