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■48865 / 親記事)  楕円面と直線の交点
  
□投稿者/ ライカー 一般人(3回)-(2018/10/20(Sat) 12:01:52)
    楕円面の方程式が与えられていて、点P(x1,y1,z1)が、この点を通り方向余弦がλ、μ、νの弦の中点であるための条件は、直線の方程式のパラメータtについての二次方程式の2つの解をt1,t2とするとき、t1+t2=0となるということですが、なぜt1+t2=0となるのか理解できません。

    ご教授をよろしくお願いします。
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■48872 / ResNo.1)  Re[1]: 楕円面と直線の交点
□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2018/10/26(Fri) 16:27:21)
    (x1,y1,z1)を通り方向余弦が(λ,μ,ν)の直線の方程式は
    (x(t),y(t),z(t))=(x1,y1,z1)+t(λ,μ,ν)
    となる
    弦の端点は直線と楕円との交点だから
    この点座標のtを求める2次方程式の2つの解を
    t1,t2とすると
    弦の始点座標は
    (x(t1),y(t1),z(t1))=(x1,y1,z1)+t1(λ,μ,ν)
    弦の終点座標は
    (x(t2),y(t2),z(t2))=(x1,y1,z1)+t2(λ,μ,ν)
    だから
    弦の中点座標は
    ({x(t1)+x(t2)}/2,{y(t1)+y(t2)}/2,{z(t1)+z(t2)}/2)
    =(x1,y1,z1)+{(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)
    ↓(x1,y1,z1)は弦の中点だから
    =(x1,y1,z1)

    (x1,y1,z1)+{(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)=(x1,y1,z1)
    ↓両辺から(x1,y1,z1)を引くと
    {(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)=(0,0,0)
    ↓両辺に2をかけると
    (t1+t2)(λ,μ,ν)=(0,0,0)
    (t1+t2)λ=(t1+t2)μ=(t1+t2)ν=0
    (t1+t2)λ^2=(t1+t2)μ^2=(t1+t2)ν^2=0
    (t1+t2)(λ^2+μ^2+ν^2)=0
    ↓λ^2+μ^2+ν^2>0だから両辺をλ^2+μ^2+ν^2で割ると

    t1+t2=0
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