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■48948 / 親記事)  数列について。
  
□投稿者/ コルム 一般人(18回)-(2018/12/30(Sun) 16:37:57)
    次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。
706×537 => 250×190

IMG_20181230_163723_909.JPG
/63KB
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■48949 / ResNo.1)  Re[1]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(27回)-(2018/12/31(Mon) 19:55:43)
    数列{a(n)}を次のように定める.
    (i)a(1)=0
    (ii)n=2,3,4,…,に対し
    a(n-1)≧nのとき,a(n)=a(n-1)-n
    a(n-1)<nのとき,a(n)=a(n-1)+n
    (1)
    a(2)=2
    2<3だから
    a(3)=2+3=5
    5>4だから
    a(4)=5-4=1
    1<5だから
    a(5)=1+5=6
    6≧6だから
    a(6)=6-6=0
    0<7だから
    a(7)=0+7=7

    a(7)=7

    (2)
    a(k)=k
    k+1>kだから
    a(k+1)=k+k+1=2k+1
    2k+1-(k+2)=k-1>0だから
    a(k+2)=k-1
    ある自然数j<kに対して
    a(k+2j-1)=2k+j
    a(k+2j)=k-j
    と仮定すると
    k+2j+1-(k-j)=3j+1>0だから
    a(k+2j+1)=2k+j+1
    2k+j+1-(k+2j+2)=k-j-1だから
    a(k+2j+2)=k-j-1
    j+1<kならば
    全ての自然数j<kに対して
    a(k+2j-1)=2k+j
    a(k+2j)=k-j…(2.1)
    が成り立つから
    j=k-1とすると
    a(3k-3)=3k-1
    a(3k-2)=1
    だから
    3k-1>1だから
    a(3k-1)=3k
    3k≧3kだから
    a(3k)=3k-3k=0
    3k+1>0だから
    a(3k+1)=3k+1…(2)

    m=3k+1

    (3)
    (1)から
    a(7)=7
    (2)a(3k+1)=3k+1から
    a(22)=a(7*3+1)=22
    a(67)=a(22*3+1)=67
    a(202)=a(67*3+1)=202
    a(607)=a(202*3+1)=607
    a(1822)=a(607*3+1)=1822
    (2.1)からa(k+2j)=k-jだから
    a(2018)=a(1822+98*2)=1822-98=1724

    a(2018)=1724
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■48950 / ResNo.2)  Re[1]: 数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(19回)-(2019/01/02(Wed) 19:58:15)
    (2)をもう少し言葉を加えて、教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48951 / ResNo.3)  Re[2]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(28回)-(2019/01/02(Wed) 20:55:32)
    (2)
    a(k)=k
    の時
    P(j)=[{a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j}]or(j>k)
    とする
    n=k+1とするとn-1=kだから
    a(n-1)=a(k)=k<k+1=nだから
    (ii)a(n-1)<nのときだから
    a(k+1)=a(n)=a(n-1)+n=a(k)+k+1=k+k+1=2k+1
    a(k+1)=2k+1
    n=k+2とするとn-1=k+1だから
    a(n-1)-n=a(k+1)-(k+2)=2k+1-(k+2)=k-1>0だから
    (ii)a(n-1)≧nのときだから
    a(k+2)=a(n)=a(n-1)-n=k-1
    a(k+2)=k-1
    だから
    P(1)=[{a(k+1)=2k+1}&{a(k+2)=k-1}]or(1>k)
    P(1)=[{a(k+1)=2k+1}&{a(k+2)=k-1}]は真
    ある自然数jに対して
    P(j)=[{a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j}]or(j>k)が真と仮定すると
    j≧kの時
    j+1>kだから
    P(j+1)=[{a(k+2j+1)=2k+j+1}&{a(k+2j+2)=k-j-1}]or(j+1>k)
    P(j+1)=(j+1>k)
    も真

    j<kの時
    a(k+2j-1)=2k+j
    a(k+2j)=k-j
    だから
    n=k+2j+1とするとn-1=k+2jだから
    n-a(n-1)=k+2j+1-a(k+2j)=k+2j+1-(k-j)=3j+1>0だから
    (ii)a(n-1)<nのときだから
    a(k+2j+1)=a(n)=a(n-1)+n=a(k+2j)+k+2j+1=k-j+k+2j+1=2k+j+1
    a(k+2j+1)=2k+j+1
    n=k+2j+2とするとn-1=k+2j+1だから
    a(n-1)-n=a(k+2j+1)-(k+2j+2)=2k+j+1-(k+2j+2)=k-j-1≧0だから
    (ii)a(n-1)≧nのときだから
    a(k+2j+2)=a(n)=a(n-1)-n=k-j-1
    a(k+2j+2)=k-j-1
    だから
    P(j+1)=[{a(k+2j+1)=2k+j+1}&{a(k+2j+2)=k-j-1}]or(j+1>k)
    P(j+1)=[{a(k+2j+1)=2k+j+1}&{a(k+2j+2)=k-j-1}]
    も真
    だから
    全ての自然数jに対して
    P(j)=[{a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j}]or(j>k)が真
    だから
    j≦kに対して
    a(k+2j-1)=2k+j
    a(k+2j)=k-j…(2.1)
    が成り立つ
    P(k)=[{a(3k-1)=3k}&{a(3k)=0}]or(k>k)
    P(k)=[{a(3k-1)=3k}&{a(3k)=0}]
    が真だから
    a(3k)=0
    3k+1>0だから
    a(3k+1)=3k+1…(2)

    m=3k+1
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■48954 / ResNo.4)  Re[1]: 数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(20回)-(2019/01/03(Thu) 23:59:56)
    j≦kにたいしてとかかれていますが、なぜ、j=kを含むのでしょうか?又、j=kの場合は、どうなるのでしょうか?教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48956 / ResNo.5)  Re[2]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(29回)-(2019/01/04(Fri) 10:44:06)
    j=k-1に対して
    a(k+2j-1)=2k+j
    a(k+2j)=k-j
    が成り立つから
    j=kに対しても
    a(k+2j-1)=2k+j
    a(k+2j)=k-j
    が成り立つ
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48957 / ResNo.6)  Re[2]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(30回)-(2019/01/04(Fri) 14:56:51)
    (2)
    a(k)=k
    P(j)={jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2}&{jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)}
    とする
    P(0)={0が偶数の時a(k)=k}]は真
    ある自然数j≦2k+1に対して
    n=k+j
    P(j-1)が真と仮定すると

    jが奇数ならば
    j-1は偶数だから
    P(j-1)={j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2}が真だから
    a(n-1)=a(k+j-1)=k-(j-1)/2
    n-a(n-1)=k+j-{k-(j-1)/2}=j+(j-1)/2>0
    (ii)a(n-1)<nの時だから
    a(k+j)=a(n)=a(n-1)+n=k-(j-1)/2+k+j=2k+(j+1)/2
    だから
    P(j)={jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2}も真

    jが偶数ならば
    j-1は奇数だから
    P(j-1)={j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+(j/2)}が真だから
    a(n-1)=a(k+j-1)=2k+(j/2)
    (j≦2k+1)&(jは偶数)だからj≦2kだから
    a(n-1)-n=2k+(j/2)-(k+j)=k-(j/2)≧0
    (ii)a(n-1)≧nの時だから
    a(k+j)=a(n)=a(n-1)-n=k-(j/2)
    だから
    P(j)={jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)}も真

    だから

    全ての自然数j≦2k+1に対して
    P(j)={jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2}&{jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)}
    だから
    j=2k+1の時
    P(2k+1)={2k+1が奇数の時a(3k+1)=3k+1}
    が真だから
    a(3k+1)=3k+1

    m=3k+1
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■48958 / ResNo.7)  Re[3]: 数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(21回)-(2019/01/05(Sat) 17:43:19)
    もう少し言葉を加えて教えていただけると幸いです。
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■48961 / ResNo.8)  Re[4]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(32回)-(2019/01/06(Sun) 19:55:34)
    (2)
    a(k)=k
    とする

    ある自然数j≦2k+1に対して

    j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
    j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+j/2
    と仮定すると

    j-1が偶数の時
    a(k+j-1)<k+jだからa(k+j)=a(k+j-1)+k+j=2k+(j+1)/2

    j-1が奇数の時
    a(k+j-1)≧k+jだからa(k+j)=a(k+j-1)-(k+j)=k-(j/2)

    jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2
    jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)
    が成り立つから

    帰納法により
    全ての自然数j≦2k+1に対して
    jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2
    jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)
    が成り立つから

    j=2k+1の時jが奇数だからa(3k+1)=3k+1
    が成り立つから
    a(3k+1)=3k+1

    m=3k+1
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■48962 / ResNo.9)  Re[5]: 数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(23回)-(2019/01/06(Sun) 20:41:37)
    なぜ、ある自然数j≦2k+1なのでしょうか?教えていただけると幸いです。
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