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■48974 / 親記事)  ベクトルについて。
  
□投稿者/ コルム 一般人(29回)-(2019/01/11(Fri) 10:19:53)
    次の問題が分かりません。
705×117 => 250×41

1547169593.png
/18KB
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■48976 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(38回)-(2019/01/11(Fri) 22:22:25)
    放物線y=x^2の異なる2点P,Qにおけるそれぞれの接線の交点をAとする.
    ∠PAQ=90°
    ∠APQ=60°
    ∠AQP=30°
    となるとき
    P(p,p^2)…(1)
    Q(q,q^2)…(2)
    とすると
    Pでの接線の式は
    y=2px-p^2…(3)
    Qでの接線の式は
    y=2qx-q^2…(4)
    となるから
    (3)と(4)の
    交点をA(x,y)とすると
    (3)(4)の連立方程式を解くと
    x=(p+q)/2
    y=pq
    だから

    A=((p+q)/2,pq)

    (↑AP,↑AQ)=|AP||AQ|cos∠PAQ=|AP||AQ|cos90°=0
    ↑AP=P-A=(p-(p+q)/2,p^2-pq)=((p-q)/2,p(p-q))=(p-q)(1/2,p)
    ↑AQ=Q-A=(q-(p+q)/2,q^2-pq)=((q-p)/2,q(q-p))=(q-p)(1/2,q)
    だから
    (↑AP,↑AQ)=-(p-q)^2{(1/4)+pq}=0
    ↓p-q≠0だから
    (1/4)+pq=0
    ↓両辺から1/4を引くと
    pq=-1/4…(5)
    q=-1/(4p)…(6)

    (↑PA,↑PQ)=|PA||PQ|cos∠APQ=|PA||PQ|cos60°=|PA||PQ|/2
    ↑PA=A-P=(q-p)(1/2,p)
    ↑PQ=Q-P=(q-p,q^2-p^2)=(q-p)(1,q+p)

    |PA|=|A-P|=|q-p|√(1/4+p^2)
    |PQ|=|Q-P|=|q-p|√(p^2+q^2+1/2)

    (↑PA,↑PQ)
    =(A-P,Q-P)
    =(q-p)^2{(1/2)+p(p+q)}
    =(q-p)^2{(1/2)+p^2+pq}
    ↓(5)から
    =(q-p)^2{(1/2)+p^2-(1/4)}
    =(q-p)^2{p^2+(1/4)}
    ↓(↑PA,↑PQ)=|A-P||Q-P|/2={(q-p)^2}{√(1/4+p^2)√(p^2+q^2+1/2)}/2
    ↓だから
    (q-p)^2{p^2+(1/4)}={(q-p)^2}{√(1/4+p^2)√(p^2+q^2+1/2)}/2
    ↓両辺を(q-p)^2で割ると
    √(1/4+p^2)={√(p^2+q^2+1/2)}/2
    ↓両辺に2をかけると
    2√(1/4+p^2)=√(p^2+q^2+1/2)
    ↓両辺を2乗すると
    1+4p^2=p^2+q^2+1/2
    ↓両辺からp^2+1/2を引くと
    1/2+3p^2=q^2
    ↓(6)から
    1/2+3p^2=1/(16p^2)
    ↓両辺に16p^2をかけると
    8p^2+48p^4=1
    ↓両辺から1を引くと
    48p^4+8p^2-1=0
    (12p^2-1)(4p^2+1)=0
    ↓4p^2+1>0だから
    12p^2-1=0
    ↓両辺に1を加えると
    12p^2=1
    ↓両辺を12で割ると
    p^2=1/12
    ↓両辺を1/2乗すると
    p=(±√3)/6…(7)
    ↓これを(6)に代入すると
    q=(-±√3)/2
    これと(7)を(1)(2)に代入すると

    P=((√3)/6,1/12)
    Q=(-√3)/2,3/4)
    又は
    P=(-(√3)/6,1/12)
    Q=((√3)/2,3/4)
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