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■50180 / 親記事)  群の問題
  
□投稿者/ もけ 一般人(1回)-(2019/11/20(Wed) 21:00:49)
    (G,・)を半群とする
    Gの任意の元g,hに対して、あるGの元i,jが存在し、
    g・i=h
    j・g=h
    が成立する。
    (G,・)が群であることを示せ。

    この問題がわかりません…どなたか教えてください
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■50181 / ResNo.1)  Re[1]: 群の問題
□投稿者/ ast 一般人(1回)-(2019/11/20(Wed) 21:41:00)
    2019/11/20(Wed) 21:45:32 編集(投稿者)

    [0] は半群だから結合法則はOK
    [i] は任意だから特にのときを考えると, そのときのに対してを考えればとなり, 任意のに対してが成り立つことになるので, 定義によりこのの単位元. (以降この単位元をと書くことにする)
    [ii] 上と同様にのときを考えると, そのときのに対してを考えればとなり, に対してが成り立つことになるので, 定義によりこのの逆元.
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■50182 / ResNo.2)  Re[2]: 群の問題
□投稿者/ もけ 一般人(2回)-(2019/11/20(Wed) 22:46:44)
    返信ありがとうございます。二つ質問させていただきたいのですが、
    @単位元の証明で、ijを考えるとi=jがどういうステップを踏んでいるのかがわかりません。
    A単位元の証明で、これで証明したことは、あくまで「任意のg∈Gに対して、あるi∈Gが存在し、gi=ig=g」であり、単位元の定義である「あるi∈Gが存在し、任意のg∈Gに対して、gi=ig=g」ではない気がします。あると任意のの順番が変わるのはアウトだった気がします。
    大変恐縮ですが、ご返事頂けると嬉しいです。
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■50183 / ResNo.3)  Re[3]: 群の問題
□投稿者/ ast 一般人(2回)-(2019/11/20(Wed) 23:03:03)
    そうですね, おっしゃる通りだいぶ勘違いしたようです. すみません.
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■50184 / ResNo.4)  Re[4]: 群の問題
□投稿者/ m 一般人(1回)-(2019/11/21(Thu) 01:24:01)
    単位元の存在のみ示します。
    を一つ固定する。
    仮定よりが成り立つ。
    このに対し、が成り立つ。
    (∵をとる。仮定よりで、
    )
    同様にしてとなるが存在する。
    このときよりが単位元。

    どうでしょう。
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■50185 / ResNo.5)  Re[5]: 群の問題
□投稿者/ もけ 一般人(3回)-(2019/11/21(Thu) 16:47:57)
    これなら良さそうですね、ありがとうございます!
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