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■50236
/ 親記事)
動点の確率
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□投稿者/ まのたろ
一般人(1回)-(2020/03/04(Wed) 20:17:20)
長さ1の線分AB上を点Xが移動する。
最初点Xは線分ABの中点にあり、
1秒ごとに確率1/2で線分AXの中点か線分BXの中点に移動する。
n秒後にはじめて線分AXの長さが1/4未満になる確率を求めよ。
教えて下さい。
お願いします。
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■50237
/ ResNo.1)
Re[1]: 動点の確率
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□投稿者/ らすかる
一般人(4回)-(2020/03/04(Wed) 22:09:37)
条件を満たすのは「n-1回目とn回目に初めて2回連続AX側が選択される確率」と同じです。
k秒後までに2連続AX側がなく最後の選択がAX側であるパターンの数をa[k]、
k秒後までに2連続AX側がなく最後の選択がBX側であるパターンの数をb[k]とおくと
a[1]=b[1]=1, a[m+1]=b[m], b[m+1]=a[m]+b[m]
このa[k]はフィボナッチ数なので、一般項は
a[k]={(1+√5)^k-(1-√5)^k}/(√5・2^k)
よって求める確率は
a[n-1]/2^n={(1+√5)^(n-1)-(1-√5)^(n-1)}/(√5・2^(2n-1))
となります。
(上の式はn≧2で定義される式ですが、n=1で正しく0となりますのでn≧1で正しい式です。)
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■50238
/ ResNo.2)
Re[2]: 動点の確率
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□投稿者/ まのたろ
一般人(2回)-(2020/03/05(Thu) 06:38:28)
ありがとうございます。
とても分かりやすいです。
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■No50236に返信(まのたろさんの記事) > 長さ1の線分AB上を点Xが移動する。 > 最初点Xは線分ABの中点にあり、 > 1秒ごとに確率1/2で線分AXの中点か線分BXの中点に移動する。 > n秒後にはじめて線分AXの長さが1/4未満になる確率を求めよ。 > > 教えて下さい。 > お願いします。
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