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■50444 / 親記事) 　3の個数
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□投稿者/ イャWン知事 一般人(2回)-(2020/08/14(Fri) 09:29:46)
    5以上の自然数nをいくつかの自然数の和としてあらわします。
    和の中に現れる自然数の並びは区別します。

    nをいくつかの自然数の和であらわす全ての方法の中に3は全部でいくつ現れるでしょうか？

    教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

    たとえば5をあらわす方法として3が現れるのは
    3+2
    2+3
    3+1+1
    1+3+1
    1+1+3
    があるので3は5個現れます。
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■50448 / ResNo.1) 　Re[1]: 3の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2020/08/14(Fri) 12:29:53)
    例えば7のとき
    1 1 1 1 1 1 1
    と書いて1と1の間6箇所に任意に+を書くと
    すべてのパターンになりますので、自然数に分ける方法は2^6通りあります。
    先頭の3個が1+1+1になるのは、1と1の間6箇所のうち
    1個目と2個目が+、3個目が空白のままの場合で、
    4個目から6個目はどちらでもよいので、2^3通りです。
    末尾の3個の場合も同様です。
    先頭と末尾以外の場合は、例えば3番目から5番目の1が1+1+1と足される場合、
    1と1の間6箇所のうち2個目が空白、3個目と4個目が+、5個目が空白で
    なければなりませんが、残り2個は任意ですから2^2通りです。
    先頭と末尾以外は「2番目〜4番目」「3番目〜5番目」「4番目〜6番目」の
    3通りですから、n=7の場合は結局2^3×2+2^2×3=28通りとなります。
    一般の場合も同様に、
    先頭の3個が加算される場合が2^(n-4)通り、末尾も同じ
    それ以外の連続3個が加算される場合は2^(n-5)通りで、これはn-4パターン
    従って全部で
    2^(n-4)×2+2^(n-5)×(n-4)=2^(n-5)×n通り
    となります。
    n=5のときは2^(5-5)×5=5通りとなり例と一致しますので、
    これで合っていると思います。

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■50451 / ResNo.2) 　Re[1]: 3の個数
□投稿者/ WIZ 一般人(8回)-(2020/08/14(Fri) 20:53:08)
    横から失礼します。
    自身で思い付けなかった、らすかるさんの素晴らしい発想に意見するのはおこがましいですが・・・。

    和に3が複数現れる場合、重複カウントされていると思います。
    例えば、n = 7 の場合、書き出してみると28通りではなく、25通りになります。
    注目している3が左端にくるケースの3+3+1と、注目している3が中央(?)になるケースの3+3+1などを
    別ケースとしてカウントしているからです。
    和に3が2個現れる場合は2重カウント、和に3が3個現れる場合は3重カウント・・・となりますね。

    和に現れる3の最大個数はガウスの記号を用いて [n/3] です。
    n = 7 の場合、3 が [7/3] = 2個出てくる和は、3+3+1, 3+1+3, 1+3+3 の3通りだから、
    n(2^(n-5)) = 28通りより 3通り少ない 25通りとなりますが、
    一般の n の場合に 3 が2個出てくる和が何通りになるのか、
    3 が3個出てくる和が何通りになるのか・・・は、私の頭では分かりませんでした。

    失礼しました。勘違いしていたらごめんなさい。
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■50452 / ResNo.3) 　Re[2]: 3の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2020/08/14(Fri) 21:10:12)
    2020/08/14(Fri) 21:17:37 編集(投稿者)

    問題は「3が含まれる式の個数」ではなく「3は全部でいくつ現れるでしょうか？」ですから、
    3+1+3なら2個ですね。

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■50453 / ResNo.4) 　Re[1]: 3の個数
□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2020/08/14(Fri) 21:53:45)
    成程ね!

    # ちなみに、負け惜しみ言わせてもらうと、
    # らすかるさんも「通り」という単位を使っていたんだから、式数だと思っていませんでした?
    # 少なくとも私の日本語力では、
    # らすかるさん回答は3の出現数をカウントしているようには読み取れないんだけど。
    # まあ、結果オーライかもしれないけど、答案としては減点されますよね!?

    ごめんなさい。
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■50454 / ResNo.5) 　Re[2]: 3の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2020/08/14(Fri) 22:50:13)
    そうですね。途中計算は1+1+1に対して他の組合せの数なので「通り」で
    問題ないと思いますが、最後の答えの単位は「個」とすべきでした。
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■50455 / ResNo.6) 　Re[2]: 3の個数
□投稿者/ イャWン知事 一般人(3回)-(2020/08/15(Sat) 08:53:05)
    とても分かりやすく教えていただき
    ありがとうございましたm(_　_)m
解決済み!
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■50456 / ResNo.7) 　Re[2]: 3の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2020/08/15(Sat) 11:06:53)
    2020/08/15(Sat) 11:19:08 編集(投稿者)

    ■No50453に返信(WIZさんの記事)
    > 成程ね!
    >
    > # ちなみに、負け惜しみ言わせてもらうと、
    > # らすかるさんも「通り」という単位を使っていたんだから、式数だと思っていませんでした?
    > # 少なくとも私の日本語力では、
    > # らすかるさん回答は3の出現数をカウントしているようには読み取れないんだけど。

    途中の質問に気づいていませんでしたので回答します。
    期待に応えられませんが、残念ながら違います。場合の数の問題ではこれと同様なものは頻出ですから、
    最初からきちんと「式数」ではなく「3の個数」と意識していましたし、「式数」なら簡単ではないのは
    最初からわかっていましたが、「個数」だからこの計算でいける、と考えて解答を書いていました。
    途中計算では「通り」の方が自然ですが、最後の解答だけ「個」にすべきであったところだけうっかりしていたというのはガチです。
    （場合の数の問題で途中がすべて「通り」で最後だけ「個」にすべきである問題に出会ったのは初めてです）
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