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■50506 / 親記事)  空間上の点
  
□投稿者/ YUASOBI 一般人(1回)-(2020/09/23(Wed) 01:28:45)
    xyz座標空間上に原点O(0,0,0)と3点A,B,Cがあり、
    Aはyz平面にあり、
    線分OA,OB,OCの長さは全て等しく、
    OAとOB、OBとOC、OCとOAは全て直交し、
    A,B,Cのz座標がそれぞれ1,2,4であるとき、
    A,B,Cの座標を求めたいです。
    教えて下さい。お願いいたします。
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■50508 / ResNo.1)  Re[1]: 空間上の点
□投稿者/ らすかる 一般人(18回)-(2020/09/23(Wed) 03:14:36)
    P(0,0,t),Q(0,t,0),R(t,0,0)(t>0)とすると
    それぞれの点から平面x+ay+bz=0までの距離は
    |bt|/√(a^2+b^2+1), |at|/√(a^2+b^2+1), |t|/√(a^2+b^2+1)だから
    これが1,2,4になるためにはb=1/4,a=1/2,t=√21
    つまりP(0,0,√21),Q(0,√21,0),R(√21,0,0)から
    4x+2y+z=0までの距離が順に1,2,4。
    x'=(x-2y)/√5, y'=(2x+y)/√5, z'=zとおいて回転すると
    P'(0,0,√21),Q'(-2√105/5,√105/5,0),R'(√105/5,2√105/5,0),
    平面は(2√5)y'+z'=0
    x''=x, y''={y'-(2√5)z'}/√21, z''={(2√5)y'+z'}/√21とおいて回転すると
    P''(0,-2√5,1),Q''(-2√105/5,√5/5,2),R''(√105/5,2√5/5,4),
    平面はz''=0
    よって、このP'',Q'',R''をA,B,Cとすれば条件を満たす。
    またyz平面に関する対称移動やzx平面に関する対称移動を行っても条件を満たすので、
    解は全部で4通りあり、具体的には
    A(0,-2√5,1),B(干2√105/5,√5/5,2),C(±√105/5,2√5/5,4)(複合同順)と
    A(0,2√5,1),B(干2√105/5,-√5/5,2),C(±√105/5,-2√5/5,4)(複合同順)。
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■50509 / ResNo.2)  Re[2]: 空間上の点
□投稿者/ YUASOBI 一般人(2回)-(2020/09/23(Wed) 09:37:39)
    ありがとうございました!!
    とても助かりました(*´∇`*)
解決済み!
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