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■50510 / 親記事)  z^5 = -1 を解く
  
□投稿者/ Megumi 一般人(6回)-(2020/09/25(Fri) 09:42:44)
     z^5 = 1 と同じように解いたのですが、これでいいのでしょうか?
     
      z = r(cosθ+isinθ)    (r、θは実数)

      z^5 = r^5(cosθ+isinθ)^5
        = r^5(cos5θ+isin5θ)
      -1 = -1 + 0i = 1(cosπ + isin0)
     実部と虚部を比較して
      r^5 = 1, 5θ = (2n+1)π  (n = 0, 1, 2, 3, 4)
     したがって
      r = 1
      θ = π/5, 3π/5, 5π/5 = π/5, 7π/5, 9π/5
     ゆえに
      z = 1,
      cos(π/5) + isin(π/5) = e^(iπ/5)    重解?
      cos(3π/5) + isin(3π/5) = e^(i3π/5)
      cos(7π/5) + isin(7π/5) = e^(i7π/5)
      cos(9π/5) + isin(9π/5) = e^(i9π/5)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50511 / ResNo.1)  Re[1]: z^5 = -1 を解く
□投稿者/ らすかる 一般人(19回)-(2020/09/25(Fri) 11:20:18)
    >  -1 = -1 + 0i = 1(cosπ + isin0)
    >  実部と虚部を比較して
    >   r^5 = 1, 5θ = (2n+1)π  (n = 0, 1, 2, 3, 4)

    この部分は
    -1 = |-1|(cos(arg(-1))+isin(arg(-1))) = 1(cos(2n+1)π + isin(2n+1)π)
    ∴r^5=1, 5θ=(2n+1)π
    です。

    >   θ = π/5, 3π/5, 5π/5 = π/5, 7π/5, 9π/5

    5π/5はπ/5ではありません。5π/5=πです。

    >   z = 1,

    突然現れたz=1は誤りです。

    >   cos(π/5) + isin(π/5) = e^(iπ/5)    重解?

    重解ではありません。
    解は
    z=
    cos(π/5) + isin(π/5) = {√5+1+i√(10-2√5)}/4,
    cos(3π/5) + isin(3π/5) = {-√5+1+i√(10+2√5)}/4,
    cos(5π/5) + isin(5π/5) = -1,
    cos(7π/5) + isin(7π/5) = {-√5+1-i√(10+2√5)}/4,
    cos(9π/5) + isin(9π/5) = {√5+1-i√(10-2√5)}/4
    となります。
    もし最初から答えをe^(iπ/5)の形で書きたかったのであれば、
    z^5=-1=e^((2n+1)iπ)
    z=e^((2n+1)iπ/5)
    ∴z=e^(iπ/5),e^(3iπ/5),e^(5iπ/5)=e^(iπ),e^(7iπ/5),e^(9iπ/5)
    とするのが早いですし、そうでなくてもe^(iπ/5)の形を知っているならば
    こちらの答えを先に出した方が(cosとisinを書く手間が減る分)簡単だと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50512 / ResNo.2)  Re[2]: z^5 = -1 を解く
□投稿者/ Megumi 一般人(7回)-(2020/09/25(Fri) 11:36:09)
    > 5π/5はπ/5ではありません。5π/5=πです。
     あちゃー、そうですね(^O^)。

     とても参考になりました。感謝です。

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