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■50737 / 親記事) 　命題の真偽
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□投稿者/ デヴス 一般人(1回)-(2021/04/22(Thu) 14:31:57)
    実数aに関する以下のような命題は、
    真偽はどう考えればよいのでしょうか？
    1. a≧0ならばa^0=1である。
    2. a≧0ならば1/a＞0である。
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■50738 / ResNo.1) 　Re[1]: 命題の真偽
□投稿者/ X 一般人(3回)-(2021/04/22(Thu) 14:56:06)
    1.偽です。
    反例)
    a=0のときa^0は定義できません。

    2.偽です。
    反例)
    a=0のとき1/aは定義できません。

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■50739 / ResNo.2) 　Re[2]: 命題の真偽
□投稿者/ デヴス 一般人(2回)-(2021/04/22(Thu) 16:33:16)
    回答ありがとうございます。

    この定義できないということが妙に気になっていて、
    結論に定義できないものが含まれているとき、その
    定義できない部分については真偽を定められない、
    命題とは真偽の定まるもののことであるから、
    真偽以前にそもそもこの文は命題ではない、
    ということはないのでしょうか？
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■50741 / ResNo.3) 　Re[3]: 命題の真偽
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2021/04/22(Thu) 17:36:29)
    いいえ。
    仮定である
    a≧0
    が数学的に定義できないわけではありませんので
    命題であるとしても問題ないと思います。
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■50742 / ResNo.4) 　Re[3]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(5回)-(2021/04/23(Fri) 02:59:26)
    人によって意見が分かれると思います。

    僕は質問者さんと同じ立場です。

    たとえば「a≧0ならば、aはどらえもんではない」（もしくは「a≧0ならば、aはどらえもんである」でもいいですが）に対して、
    * どらえもんは（一般数学用語としては）定義されていないからナンセンス（命題ではない）
    * 「どらえもんが定義されていない」という事実と「仮定は数学的に定義されている」という事実から命題と考えられ、かつ偽
    のどちらのスタンスに立つか、と言い換えられると思います。

    そして僕はこう言いかえるとナンセンスさがさらに際立つと思うので先に書いたように質問者さんと同じ立場です。
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■50743 / ResNo.5) 　Re[1]: 命題の真偽
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 08:55:08)
    こういう条件文のときは、まず、変数（この場合はa)がとりうる全体集合が何かを決めておく必要があります。
    もし、実数全体であれば、0^0=1　は偽（こう定義しているなら真かもしれませんが）ですし、1/0 は少なくとも数ではないので 1/0>0 は偽です。
    高校数学では、定義できない場合は最初から全体集合に含めないとする場合も多いので、最初からaの取りうる値は0以外の実数、とするのであれば、真となります。

    気になるのであれば、
    「ab>0　かつ a+b>0」 ならば「 a>0 かつ b>0」である　
    を考えてみてください。a,b が実数（有理数でも整数でもいいですが）であれば真ですが、複素数だと偽、というのはいいのでしょうか？（a=1+i, b=1-iなど）
    これもおかしいと思うのであれば、最初からきちんと全体集合は何か、確認するようにしましょう。
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■50745 / ResNo.6) 　Re[2]: 命題の真偽
□投稿者/ sage 一般人(6回)-(2021/04/23(Fri) 12:54:32)
    えっ、複素数で考えても例えば
    「a>0かつb>0」ならば「ab>0」
    のような命題なら真では？
    そして今回の2.の対偶
    「1/a≦0ならばa<0である」
    は上記と同様のケースとなり、 真 でしょう。
    対偶が真なので「a≧0ならば1/a>0である」も真かと。
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■50746 / ResNo.7) 　Re[3]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(6回)-(2021/04/23(Fri) 13:59:14)
    sagaさん、

    黄桃さんが言っているのは
    > 「ab>0　かつ a+b>0」 ならば「 a>0 かつ b>0」である
    であり、これはa,bが実数の範囲なのか、複素数の範囲なのかで真偽が変わる命題ですよ。

    こういう例があるので本来使う文字の定義（数としての範囲）は先にきちんと定めておく必要があるという話でしょう。


    また対偶を取ったところで、aの範囲をはっきりさせない以上「1/aという表記自体意味をもたず、命題としてナンセンス」という解釈もありえるので本質は何も変わっていないです。


    さらに、2. の対偶を考えるさいに 1/a>0の否定を「1/a≦0」だと考えられているようですがこれは本当に正しいでしょうか？
    「1/a≦0 もしくは 1/a は定義されない」という可能性（解釈）はありえないですか？
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■50747 / ResNo.8) 　Re[4]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(7回)-(2021/04/23(Fri) 14:07:13)
    1/a>0の否定に関する補足です。

    1/a>0とは「1/aが数として定義され、かつ0と大小関係をもち、その結果が1/a>0」ということです。
    よってこの否定は「1/aが数として定義されない、もしくは定義されるが0と大小関係は持たない、もしくは定義されて0との大小関係を持ちその結果が1/a≦0」とするのが正しいと思います。

    もちろんaが非零実数であることが前提としてあるのなら「1/a>0」の否定は「1/a≦0」と簡潔に書くことはできます。
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