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■50783 / 親記事) 　極限
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□投稿者/ ルーシー 一般人(1回)-(2021/05/17(Mon) 15:19:31)
    nは自然数で
    lim[x→1]{n/(x^n-1)-1/(x-1)}
    を教えて下さい
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■50784 / ResNo.1) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ X 一般人(6回)-(2021/05/17(Mon) 17:18:39)
    (i)n=1のとき
    (与式)=0
    (ii)n≧2のとき
    (与式)=lim[x→1]{n(x-1)-(x^n-1)}/{(x-1)(x^n-1)}
    =lim[x→1]{n-nx^(n-1)}/{(x^n-1)+n(x-1)x^(n-1)}
    =lim[x→1]{-n(n-1)x^(n-2)}/{2nx^(n-1)+n(n-1)(x-1)x^(n-2)}
    =-(n-1)/2
    ((∵)ロピタルの定理)
    これはn=1のときも成立

    まとめて
    (与式)=-(n-1)/2
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■50788 / ResNo.2) 　Re[2]: 極限
□投稿者/ X 一般人(10回)-(2021/05/17(Mon) 17:29:53)
    別解)
    (与式)=lim[x→1]{n-Σ[k=0〜n-1]x^k}/(x^n-1)
    ∴t=x^nと置くと
    (与式)=lim[x→1]{n-Σ[k=0〜n-1]t^(k/n)}/(t-1)
    ここで
    f(t)=Σ[k=0〜n-1]t^(k/n)
    と置くと
    f'(t)=Σ[k=1〜n-1](k/n)t^(k/n-1)
    ∴微分係数の定義により
    (与式)=-f'(1)
    =-Σ[k=1〜n-1]k/n
    =-(1/n)Σ[k=1〜n-1]k
    =-(1/n)・(1/2)n(n-1)
    =-(n-1)/2
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■50789 / ResNo.3) 　Re[3]: 極限
□投稿者/ ルーシー 一般人(2回)-(2021/05/18(Tue) 01:09:00)
    ありがとうございます！！
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