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■50813 / 親記事) 　素数
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□投稿者/ +1 一般人(1回)-(2021/06/03(Thu) 16:14:39)
    素数p,q,rでp+1,q+1,r+1が等比数列となる
    ものをp<q<r<100の範囲で全て求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50814 / ResNo.1) 　Re[1]: 素数
□投稿者/ らすかる 付き人(53回)-(2021/06/03(Thu) 17:40:31)
    p+1≧3、√(100/3)＜6なので公比は5以下
    公比が5のときr+1は25の倍数かつr+1=25(p+1)≧75
    このときr=74,99でいずれも素数でないので不適
    公比が4のときr+1は16の倍数かつr+1=16(p+1)≧48
    r=47,63,79,95のうち素数は47と79
    r=47のときq=11,p=2となり適解
    r=79のときq=19,p=4となり不適
    公比が3のときr+1は9の倍数かつr+1=9(p+1)≧27
    r=26,35,44,53,62,71,80,89,98のうち素数は53,71,89
    r=53のときq=17,p=5となり適解
    r=71のときq=23,p=7となり適解
    r=89のときq=29,p=9となり不適
    公比が2のときr+1は4の倍数かつr+1=4(p+1)≧12
    r=11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59,63,67,71,75,79,83,87,91,95,99
    のうち素数は11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83
    このときqは順に5,9,11,15,21,23,29,33,35,39,41となりこのうち素数は
    q=5,11,23,29,41
    このときpは順に2,5,11,14,20となりこのうち素数は2,5,11
    よって(p,q,r)=(2,5,11),(5,11,23),(11,23,47)が適解
    従って求める解は
    (p,q,r)=(2,11,47),(5,17,53),(7,23,71),(2,5,11),(5,11,23),(11,23,47)
    の6組。

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■50815 / ResNo.2) 　Re[2]: 素数
□投稿者/ +1 一般人(2回)-(2021/06/03(Thu) 18:06:38)
    公比が整数だとなぜ分かりますか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50816 / ResNo.3) 　Re[3]: 素数
□投稿者/ らすかる 付き人(54回)-(2021/06/03(Thu) 19:11:53)
    ごめんなさい、勝手に整数と思い込んでいました。
    整数でない場合は公比をu/v（uとvは互いに素でv≧2）とすると
    p+1はv^2の倍数でなければならないのでv≦10
    v=10のときp=99となり不適
    v=9のときp=80となり不適
    v=8のときp=63となり不適
    v=7のときp=48,97となり不適（∵97より大きい100未満の素数はない）
    v=6のときp=35,71となりp=35は不適
    p=71のとき(p+1)/v=12なのでu=7（∵u=8はvと互いに素でない）
    このときq=(71+1)×(7/6)-1=83, r=(83+1)×(7/6)-1=97となり
    (p,q,r)=(71,83,97)は解
    v=5のときp=24,49,74,99となり不適

    v=4のときp=15,31,47,63,79,95となりこのうち素数は31,47,79
    p=31のとき(p+1)/v=8なのでu=5,7,9,11（∵偶数はvと互いに素でない）
    u=5,7,9,11のとき順に
    q=39,55,71,87となりこのうち素数は71
    しかしr=(71+1)×(9/4)-1＞100となり不適
    p=47のとき(p+1)/v=12なのでu=5,7（∵6,8はvと互いに素でない）
    u=5,7のとき順にq=59,83となり両方とも素数
    q=59のとき(q+1)×(5/4)-1=74となり不適
    q=83のとき(q+1)×(7/4)-1＞100となり不適
    p=79のとき(p+1)/v=20なのでu=5
    しかしq=(79+1)×(5/4)-1=99なので不適

    v=3のときp=8,17,26,35,44,53,62,71,80,89,98となりこのうち素数は17,53,71,89
    p=17のとき(p+1)/v=6なのでu=4,5,7,8,10,11,13,14,16
    このとき順にq=23,29,41,47,59,65,77,83,95となりこのうち素数は23,29,41,47,59,83
    q=23のときr=(q+1)×(4/3)-1=31で適
    q=29のときr=(q+1)×(5/3)-1=49で不適
    q=41のときr=(q+1)×(7/3)-1=97で適
    q≧47のときr≧100となり不適
    よって(p,q,r)=(17,23,31),(17,41,97)が解

    v=2のときpは8n-1型の素数なのでp=7,23,31,47,71,79
    （8n-5型の素数のときr=(8n-5+1){(奇数)/2}^2-1が偶数になるので不適）
    p=7のとき(p+1)/v=4,√{100/(p+1)}＜4なのでuは3以上7以下の奇数
    u=3,5,7のとき順にq=11,19,27となり素数は11,19
    q=11のときr=(q+1)×(3/2)-1=17で適
    q=19のときr=(q+1)×(5/2)-1=49で不適
    よって(p,q,r)=(7,11,17)が解
    p=23のとき(p+1)/v=12,√{100/(p+1)}＜5/2なのでu=3
    このときq=35となり不適
    p=31のとき同様にu=3
    このとき(p,q,r)=(31,47,71)となり適
    p≧47のときr≧47×(3/2)^2＞100となり不適

    従って公比が整数でないときの解は
    (p,q,r)=(71,83,97),(17,23,31),(17,41,97),(7,11,17),(31,47,71)
    なので、整数のときの解と合わせて昇順に並べると
    (p,q,r)=(2,5,11),(2,11,47),(5,11,23),(5,17,53),(7,11,17),(7,23,71),
    (11,23,47),(17,23,31),(17,41,97),(31,47,71),(71,83,97)

    # 見落としなどあるかも知れませんので、内容はご確認下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50817 / ResNo.4) 　Re[4]: 素数
□投稿者/ +1 一般人(3回)-(2021/06/03(Thu) 21:37:50)
    ありがどうございました
    色々な点でとても参考になりました
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50818 / ResNo.5) 　Re[5]: 素数
□投稿者/ らすかる 付き人(55回)-(2021/06/03(Thu) 22:33:34)
    全く違う方法でも解いてみました。

    100までの素数は
    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
    全部1足すと
    3,4,6,8,12,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48,54,60,62,68,72,74,80,84,90,98
    素因数分解すると
    3=3
    4=2^2
    6=2*3
    8=2^3
    12=2^2*3
    14=2*7
    18=2*3^2
    20=2^2*5
    24=2^3*3
    30=2*3*5
    32=2^5
    38=2*19
    42=2*3*7
    44=2^2*11
    48=2^4*3
    54=2*3^3
    60=2^2*3*5
    62=2*31
    68=2^2*17
    72=2^3*3^2
    74=2*37
    80=2^4*5
    84=2^2*3*7
    90=2*3^2*5
    98=2*7^2
    2乗以上がない素因数(5,11,17,19,31,37)を含む数は、
    同じ素因数を持つもの同士でしか等比数列をなし得ない。
    素因数11,17,19,31,37を含むものは1個ずつしかないため、
    38,44,62,68,74が等比数列に使われることはない。
    素因数5を含むものは
    20=2^2*5
    30=2*3*5
    60=2^2*3*5
    80=2^4*5
    90=2*3^2*5
    の5個
    このうち素因数3を含まないものと1個だけ含むものはそれぞれ2個しかなく、
    3^2を含むものが90しかないため、自動的にr=90と決まる。
    しかしqを素因数3を1個含む30,60のどちらにしてもpが存在せず不適。
    よって素因数5を含む数の等比数列は存在しない。
    素因数7を含むものは
    14=2*7
    42=2*3*7
    84=2^2*3*7
    98=2*7^2
    の4個
    3^1を含むものが2個、3を含まないものが2個なので
    この4個の中だけで等比数列をなすことはないが、
    7^0の項を追加すると等比数列をなす可能性がある。
    一つは2*7^2と決まり、
    もう一つを2*7とすると残りは2となり存在しない
    もう一つを2*3*7とすると残りは2*3^2となり
    (2*3^2,2*3*7,2*7^2)→(18,42,98)→(17,41,97)が適解
    もう一つを2^2*3*7とすると残りは2^3*3^2となり
    (2^3*3^2,2^2*3*7,2*7^2)→(72,84,98)→(71,83,97)が適解

    残りは
    3=3
    4=2^2
    6=2*3
    8=2^3
    12=2^2*3
    18=2*3^2
    24=2^3*3
    32=2^5
    48=2^4*3
    54=2*3^3
    72=2^3*3^2
    の11個で素因数はすべて2と3
    素因数の個数で表を作ると
    □○①②③④⑤←2^n
    ○□□■■□■
    ①■■■■■□
    ②□■□■□□
    ③□■□□□□
    ↑
    3^n
    この表で3つが等間隔で直線上に並んでいるものは
    横
    3,2*3,2^2*3 → 3,6,12 → 2,5,11
    3,2^2*3,2^4*3 → 3,12,48 → 2,11,47
    2*3,2^2*3,2^3*3 → 6,12,24 → 5,11,23
    2^2*3,2^3*3,2^4*3 → 12,24,48 → 11,23,47
    縦
    2*3,2*3^2,2*3^3 → 6,18,54 → 5,17,53
    2^3,2^3*3,2^3*3^2 → 8,24,72 → 7,23,71
    斜め45°
    2^3,2^2*3,2*3^2 → 8,12,18 → 7,11,17
    2^5,2^4*3,2^3*3^2 → 32,48,72 → 31,47,71
    他の向き
    2*3^2,2^3*3,2^5 → 18,24,32 → 17,23,31

    従って解は以前と同じく
    (p,q,r)=(2,5,11),(2,11,47),(5,11,23),(5,17,53),(7,11,17),(7,23,71),
    (11,23,47),(17,23,31),(17,41,97),(31,47,71),(71,83,97)
    の11個。

    # 全く違う方法で同じ答えが得られましたので、
    # おそらく合っていると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50819 / ResNo.6) 　Re[6]: 素数
□投稿者/ +1 一般人(4回)-(2021/06/07(Mon) 09:18:52)
    遅くなってすみません。
    ありがとうございました
解決済み!
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