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■50901 / 親記事) 　積分の漸化式
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□投稿者/ 積分 一般人(1回)-(2021/07/09(Fri) 09:15:14)
    I[n]=∫((1+cosx)/2)^(n-1)(-1/cosx)^ndx
    と定めるときI[n+1]をI[n]であらわせ。

    この問題が解けません。教えて下さい。
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■50902 / ResNo.1) 　Re[1]: 積分の漸化式
□投稿者/ 積分 一般人(2回)-(2021/07/09(Fri) 15:01:07)
    ■No50901に返信(積分さんの記事)
    > I[n]=∫((1+cosx)/2)^(n-1)(-1/cosx)^ndx
    > と定めるときI[n+1]をI[n]であらわせ。
    >
    > この問題が解けません。教えて下さい。


    解決しました。ありがとうございました。
解決済み!
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■50903 / ResNo.2) 　Re[2]: 積分の漸化式
□投稿者/ 積分 一般人(3回)-(2021/07/09(Fri) 15:25:41)
    上の人は別人です。なりすましです。
    まだ解決していません。

    引き続きご指導よろしくお願いします。
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■52901 / ResNo.3) 　Re[1]: 積分の漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(19回)-(2025/07/13(Sun) 09:43:21)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    nを自然数として I[n] = ∫{((1+cos(x))/2)^(n-1)}{(-1/cos(x))^n}dx と解釈して回答します。

    t = tan(x/2) とおけば、cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2) ですので、
    I[n] = ∫{((1+(1-t^2)/(1+t^2))/2)^(n-1)}{(-1/((1-t^2)/(1+t^2)))^n}{2/(1+t^2)}dt
    = 2∫{1/((t^2-1)^n)}dt

    技巧的ですが、上記は部分積分を用いて以下のように変形できます。
    I[n] = 2t/((t^2-1)^n)-2∫{t*(-2nt)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+4n∫{(t^2)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+4n∫{(t^2-1+1)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+2n(I[n]+I[n+1])

    ⇒ I[n+1] = {(1-2n)I[n]-2t/((t^2-1)^n)}/(2n)
    = {(1-2n)I[n]-2tan(x/2)/((tan(x/2)^2-1)^n)}/(2n)

    # 計算間違いしてたらごめんなさい!
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