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■51096 / 親記事) 　部分分数分解
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□投稿者/ 7610 一般人(1回)-(2021/08/21(Sat) 22:18:09)
    　　1/x^2(x+1) = a/x^2 + b/(x+1) + c/x ･･････ (1)
    　両辺を x^2(x+1) で払うと
    　　1 = a(x+1) + bx^2 + cx(x+1)
    　x = 0 のとき a = 1、x = -1 のとき b = 1 なので
    　　1 = (x+1) + x^2 + cx(x+1)
    　x = 1 のとき 1 = 2 + 1 + 2c なので c = -1.
    　検算してみると確かに
    　　1/x^2(x+1) = 1/x^2 + 1/x+1 - 1/x
    となるのですが、これを導くのになぜ(1)のような形を前提としておくのでしょうか？
    　a/x^2、b/(x+1) に加え c/x をおく理由がわかりにくいのです。というのも(1)の左辺の分母は分母は x^2 と (x+1) かけたものなのですから
    　　1/x^2(x+1) = a/x^2 + b/(x+1)
    でもよさそうなものですが、(1)と同じように計算しても
    　　1 = a(x+1) + bx^2 ･･････ (2)
    　　x = -1 →　b = 1.
    　　x =　0 →　a = 1.
    　　1/x^2 + 1/(x+1) = (x+1+x^2)/x^2(x+1)　
    となり全然ダメなことは確認できます。しかしなぜこれではダメなのかと問われるとうまく説明できません。

    　たとえば(1)を少し変形した
    　　1/(x-1)^2(x+1) =　a/(x-1)^2 +　b/(x+1) + c/(x-1)
    を(1)と同様に計算してみると
    　　a = 1/2,　b = 1/4,　 c = -1/4
    と正しく部分分数分解されます。他にも三次式の分母の部分分数分解をいくつか試みた結果から推察するとどうやら x の三次式の分母が一次式で因数分解できるときは
    　　1/(x+α)(x+β)(x+γ) = a/(x+α) + b/(x+β) + c/(x+γ)
    とおける。
    　三次式の分母 = 0 が重解を持つときは
    　　1/(x+α)^2(x+β) = a/(x+α)^2 + b/(x+α) + c/(x+β)
    とおける。
    ような気がするですが、そうしていい理由がいまいちしっくりきません。
    http:/
    /mathtrain.jp/bubun
    をみたら(1)のような分解は証明なしに利用していいとあります。きちんと証明するには高校レベル以上の数学が必要なのでしょうか？
    　とりあえずは(2)がダメな理由がはっきりわかるだけでもありがたいのです。

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■51097 / ResNo.1) 　Re[1]: 部分分数分解
□投稿者/ らすかる 付き人(67回)-(2021/08/22(Sun) 00:23:36)
    一般論として、1/{P(x)Q(x)}を○/P(x)+□/Q(x)の形に分解する場合、
    ○はP(x)より次数が1小さい多項式、□はQ(x)より次数が1小さい多項式とする必要があります。
    例えば1/{(x^2+1)(x^3+2)}であれば
    1/{(x^2+1)(x^3+2)}=(ax+b)/(x^2+1)+(cx^2+dx+e)/(x^3+2)
    のようにおきます。
    よって、1/(x^2(x+1))をもし○/x^2+□/(x+1)のように分解するならば
    (ax+b)/x^2+c/(x+1)のようにおく必要があります。

    a/x^2+c/xの形は、
    (ax+b)/x^2=ax/x^2+b/x^2=a/x+b/x^2
    のように分解したものです。

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■51098 / ResNo.2) 　Re[2]: 部分分数分解
□投稿者/ 7610 一般人(2回)-(2021/08/22(Sun) 00:39:20)
    ご回答ありがとうございました。
    礼儀もわきまえない質問にも関わらずご丁寧にすみません。
    これに懲りてくだらない質問は控えるように致します。申し訳ありませんでした。
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■51099 / ResNo.3) 　Re[2]: 部分分数分解
□投稿者/ 7610 一般人(3回)-(2021/08/22(Sun) 04:54:56)
    らすかる様

    回答まことにありがとうございました。

    すぐ上のやつはなりすましです。ここ、いい掲示板だったのにすっかり荒れてるなあ。

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■51102 / ResNo.4) 　Re[3]: 部分分数分解
□投稿者/ らすかる 付き人(68回)-(2021/08/22(Sun) 14:38:59)
    どちらが本物か分かりませんが、とりあえず解決ですね。
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■51103 / ResNo.5) 　Re[3]: 部分分数分解
□投稿者/ らすかる 付き人(69回)-(2021/08/22(Sun) 15:05:05)
    すぐ上のやつはなりすましです。
    いちいちなりすましかどうかまで考えなければいけないのは面倒ですね。

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■51104 / ResNo.6) 　Re[4]: 部分分数分解
□投稿者/ らすかる 付き人(70回)-(2021/08/23(Mon) 03:01:10)
    すぐ上のやつはなりすましかどうか疑われているなりすましで、
    そのすぐ上の者は本物です。真贋を見極めるのも掲示板ならではとはいえ、やはり面倒ですね。。
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